Os gráficos com grande número de caminhos contêm cadeias menores menores?

Definição: Uma " cadeia " é um multi-gráfico obtido a partir de um caminho de comprimento , duplicando todas as arestas. $k$ $k$

Observe que o número de caminhos entre dois pontos finais de uma cadeia é $k$ $2^k.$

Pergunta: Let ser um simples gráfico no n nós e deixe e seja dois nós de Suponha que o número de caminhos (simples) de s a t em seja pelo menos Então, é possível obter uma cadeia de com ( e como pontos finais) por uma sequência de exclusão e contração de arestas? $G$ $s$ $t$ $G.$ $G$ $n^k.$ $\Omega(k)$ $G$ $s$ $t$

Se a resposta for positiva, a segunda parte da pergunta é se existe um algoritmo eficiente para obter uma cadeia tão grande.

Eu ficaria igualmente feliz com cadeia oupara qualquer $\sqrt k$ $k^\alpha$ $\alpha >0.$

Eu apreciaria qualquer resposta parcial ou qualquer intuição sobre se tal conjectura se sustentaria.

Eu tinha postado isso no excesso de matemática alguns dias atrás. Alguém sugeriu publicá-lo aqui também.

/mathpro/161451/do-graphs-with-large-number-of-paths-contain-large-chain-minor

graph-theory graph-algorithms graph-minor

— Raghav Kulkarni
fonte

Pode valer a pena verificar o gráfico recursivo do diamante para ver se é um exemplo contrário. cstheory.stackexchange.com/questions/10169/...

— Chandra Chekuri

k^{α}

$k^\alpha$

Ω (k)

$\Omega(k)$

Ω (k)

$\Omega(k)$

Ω (k)

$\Omega(k)$

s

$s$

O (k)

$O(k)$

s, t

$s,t$

O (k)

$O(k)$

n^{k}

$n^k$

n = f (k)

$n=f(k)$

f

$f$ é função exponencial).

— Saeed

Um contra-exemplo é publicado no MathOverflow: mathoverflow.net/questions/161451/… Ainda sinto que a modificação "correta" da pergunta pode ser verdadeira, pelo menos para algumas classes de gráficos naturais, como gráficos planares.

— Raghav Kulkarni

k

$k$

k

$k$

Respostas:

$k$ $s,t$ $k\times k$ $s,t$ $O(k^{1/\delta})$ $\delta > 0$ é alguma constante. Assim, podemos calcular a decomposição em árvore do gráfico e verificar se essa cadeia existe ou não. Não sei se, com a programação dinâmica usual em gráficos de largura de árvore delimitada, é possível encontrar a cadeia. Além disso, se a largura da árvore não for limitada, seu algoritmo poderá encontrar a grade correspondente em tempo polinomial.

$n^k$

— Saeed
fonte

Então você está dizendo que a "maior cadeia obtida por deleção-contração" parece ser um parâmetro fixo tratável. Isso é interessante! Embora isso não conte nada sobre a existência de uma grande cadeia como conseqüência de ter um grande número de caminhos.

— Raghav Kulkarni 03/04

@RaghavKulkarni, Sim, acho que sim, não tenho muita certeza, só depende disso, se for possível formular um problema como MSO_2 ou fornecer uma abordagem de programação dinâmica para casos com largura de árvore limitada, na verdade, seu problema parece estar na categoria de problemas bidimensionais.

— Saeed #

K \times K

$K\times K$

2^{k}

$2^k$

P

$P$

Os contra-exemplos acima são publicados no MathOverflow:

/mathpro/161006/do-graphs-with-large-number-of-cycles-always-contain-large-necklace-minor

/mathpro/161451/do-graphs-with-large-number-of-paths-contain-large-chain-minor?lq=1

Alguma modificação "correta" da pergunta que ainda é verdadeira?

— Raghav Kulkarni
fonte