Obtendo bits de N com eficiência! ?

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Dados e , é possível obter o 'ésimo bit (ou dígito de qualquer base pequena) de no tempo / espaço de , onde é uma função polinomial de e ? $N$ $M$ $M$ $N!$ $O( p( ln(N), ln(M) ) )$ $p(x, y)$ $x$ $y$

Dado que , (com , ), encontre o bit de em . $N = 2^\eta$ $M = 2^\mu$ $N$ $M \in \mathbb{Z}$ $2^\mu$ $(2^\eta)!$ $O( p(\eta, \mu) )$

Nota: Eu perguntei isso no mathoverflow.net aqui e não recebi nenhuma resposta, por isso tenho postagens cruzadas.

A partir do comentário no outro site, Gene Kopp ressalta que é possível calcular com eficiência os bits de ordem inferior fazendo aritmética modular e bits de ordem superior usando a aproximação de Stirling, então essa pergunta é realmente 'com que eficiência é possível calcular os bits de ordem média?' .

ds.algorithms nt.number-theory

— user834
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Dick Lipton tem um belo post de 2009 sobre a relação entre a função fatorial e a fatoração. Há muita coisa que não tem relação com essa questão, mas um ponto importante é esse teorema:

$n!$ $O(\log^{c} n)$

Suspeito que seja uma evidência de que sua pergunta, especialmente dentro do prazo que você mencionou, será difícil de responder.

— Suresh Venkat
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Obrigado, este é exatamente o tipo de resposta que eu estava procurando. Isso não responde diretamente à minha pergunta e não vejo exatamente como conectar as duas, mas é perto o suficiente para deixar minha mente em paz.

— user834

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$p$

$p$ $(p^2)$ $p^2$ $p$ $N!$ $X_p = \sum_{i=1}^{\lfloor \log_p(N!) \rfloor} \lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor$ $\log_p(N!)$ $\ln N! \approx N \ln N - N$ $p^{N \lceil \log_p (N) \rceil} > N!$ $1 \leq i \leq {N \lceil \log_p (N) \rceil}$ $\lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor = 0$ $i > {\lfloor \log_p(N!) \rfloor}$

$X_p$ $N!$ $p$

— Joe Fitzsimons
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