Teste de isomorfismo de gráficos assimétricos

Ao ler as perguntas Exemplos onde a unicidade da solução torna mais fácil de encontrar , uma nova interrogação (? Mais fácil) veio à minha mente: na verdade, não sabemos se o (Gráfico Isomorfismo ) problema está em . $GI$ $P$

Mas o que acontece se assumirmos que ambos e são assimétricos (ie ambos têm apenas o) automorphism identidade trivial ()? O problema se torna mais fácil (tempo polinomial)? $G_1$ $G_2$

Nota: o problema não pode ser mais difícil que o Graph Automorphism ( ), porque há uma redução rápida: basta usar em ; se a resposta for sim, os dois gráficos são isomórficos (consulte também Johannes Köbler, Uwe Schöning, Jacobo Torán: O isomorfismo do gráfico é baixo para PP 401-411). $GA$ $GA$ $G_1 \cup G_2$

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— Marzio De Biasi
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Com a probabilidade se aproximando de 1 à medida que n cresce, seu gráfico tem apenas o automortoísmo rival pela complexidade de Kolmogorov.

— Chad Brewbaker

+1 Boa pergunta, sua pergunta potencialmente leva a um ataque contra P vs NP. Tente provar que não existe redução de Turing do para o seu problema.

G A

$GA$

— Mohammad Al-Turkistany

Esse problema é conhecido como problema de isomorfismo de gráfico rígido. Se pode ser resolvido em tempo polinomial ou não, é amplamente aberto. Há algum trabalho tentando atacá-lo por meio de algoritmos quânticos, por exemplo, reduzindo-o ao problema de turnos ocultos ( arxiv.org/abs/quant-ph/0510185 ), mas os resultados são principalmente negativos, mostrando que as técnicas tentadas não trabalhos.

— Mateus de Oliveira Oliveira

É possível rigidificar qualquer gráfico para que ele tenha apenas um único endomorfismo (e, portanto, automorfismo), anexando gráficos mutuamente rígidos a cada vértice. Isso implica uma redução de Turing do IG para decidir o isomorfismo dos gráficos assimétricos. Infelizmente, não é polinomial.

— András Salamon

Bem, Childs / Wocjan não está sozinho no uso de rígido para denotar gráficos com um único automorfismo. Há uma pesquisa de Babai de 1994 que já indica que a terminologia não é tão padrão www.cs.uchicago.edu/~laci/handbook/handbookchapter27.pdf. Também nos tempos modernos, o rígido foi usado nesse sentido por Jacobo Toran ( uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/.../toran/hard.pdf ). Portanto, parece que é uma questão de o autor se importar ou não com os casamentos. Mas usei assimétrica na minha resposta para evitar confusão.

— Mateus de Oliveira Oliveira

A pedido de Marzio De Biasi, estou convertendo meu comentário em uma resposta.

Um gráfico é assimétrico (alguns autores se referem a ele como rígido) se tiver um automorfismo único, ou seja, a identidade. Conforme apontado por Chad Brewbacker, a maioria dos gráficos é assimétrica. No entanto, as duas perguntas a seguir estão abertas:

1) O isomorfismo de grafos assimétricos em P?

2) O isomorfismo de gráficos gerais pode ser reduzido a isomorfismo de gráficos assimétricos?

$\Omega(n\log n)$

— Mateus de Oliveira Oliveira
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