Teoria do tipo homotopia e teoremas da incompletude de Gödel

Os teoremas da incompletude de Kurt Gödel estabelecem as "limitações inerentes a todos, exceto os sistemas axiomáticos mais triviais, capazes de fazer aritmética".

A teoria do tipo de homotopia fornece uma base alternativa para a matemática, uma base univalente baseada em tipos indutivos mais altos e no axioma da univalência . O livro da HoTT explica que os tipos são grupóides mais altos, as funções são functores, as famílias de tipos são fibrações, etc.

O artigo recente "Matemática formalmente verificada" no CACM de Jeremy Avigad e John Harrison discute o HoTT com relação à matemática formalmente verificada e à prova automática de teoremas.

Os teoremas da incompletude de Gödel se aplicam ao HoTT?

E se o fizerem,

a teoria do tipo de homotopia é prejudicada pelo teorema da incompletude de Gödel (dentro do contexto da matemática formalmente verificada)?

lo.logic type-systems homotopy-type-theory

— Hawkeye
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Pergunta interessante. Havia algo que você leu que sugeriu a você que o HTT não sofre com a incompletude de Godel? (Note-se que tentativas anteriores de fundações - como a teoria dos conjuntos - também sofrem de Godel incompletude ...)

— Joshua Grochow

O HoTT "sofre" com a incompletude de Gödel, é claro, uma vez que possui uma linguagem e regras de inferência computáveis e numeráveis, e podemos formalizar aritmética. Os autores do livro HoTT estavam perfeitamente conscientes de sua incompletude. (De fato, isso é bastante óbvio, especialmente quando metade dos autores é lógico de algum tipo).

Mas a incompletude "prejudica" a HoTT? Não mais do que qualquer outro sistema formal, e acho que toda a questão está um pouco equivocada. Deixe-me tentar uma analogia. Suponha que você tenha um carro que não possa levá-lo a qualquer lugar do planeta. Por exemplo, ele não pode subir verticalmente uma parede. O carro está "comprometido"? Obviamente, ele não pode levá-lo ao topo do Empire State Building. O carro é inútil? Longe disso, pode levar muitos outros lugares interessantes. Sem mencionar que o Empire State Building possui elevadores.

— Andrej Bauer
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Não acho que a analogia do carro funcione, pois a pergunta não é tanto: "O carro é inútil?" mas "O carro pode servir como transporte da fundação?" Mas, em qualquer caso, o ponto fundamental é que qualquer sistema que seja uma base da matemática é necessariamente incompleto.

— David Richerby

Meu argumento era que as pessoas não esperam que exista uma máquina de transporte perfeita, nem se preocupam com a inexistência de uma, mas de alguma forma se preocupam com o fato de que nenhuma base (razoável) da matemática está completa.

— 21411 Andrej Bauer #