Existem provas não construtivas da existência de “pequenas” máquinas de Turing / NFAs?

Depois de ler uma pergunta relacionada , sobre provas não-construtivas de algoritmos, fiquei pensando se existem métodos para mostrar a existência de máquinas de computação "pequenas" (digamos, em termos de estado) sem realmente construí-la.

Formalmente:

suponha que recebamos alguma linguagem e conserte algum modelo de computação (NFAs / turing machine / etc.). $L\subseteq \Sigma^*$

Existem quaisquer resultados de existência não-construtivas que mostram um máquina -state para existe, mas sem a capacidade de encontrar (em tempo) é? $n$ $L$ $poly(n,|\Sigma|)$

Por exemplo, existe alguma linguagem regular para a qual podemos mostrar mas não sabemos como construir um autômato state? $L$ $nsc(L)\leq n$ $n$

( é a complexidade não determinística do estado de , ou seja, o número de estados no NFA mínimo que aceita ). $nsc(L)$ $L$ $L$

Edição: depois de alguma discussão com Marzio (obrigado!) Acho que posso formular melhor a pergunta da seguinte maneira:

Existe uma linguagem e um modelo de computação para o qual o seguinte se aplica: $L$

Sabemos como construir uma máquina que calcula que possui estados. $L$ $m$

Temos uma prova de que -states máquina para existe (onde ), mas de qualquer não podemos encontrá-lo em tudo ou levaria tempo exponencial para calcular isso. $n$ $L$ $n << m$

cc.complexity-theory automata-theory turing-machines

— RB
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o que é nsc (L)? a questão parece estar relacionada com a compressão complexidade / Kolmogorov, que pede para encontrar máquinas pequenas (EST) para representar seqüências ...

— vzn

nsc (L) é a complexidade não determinística do estado de L (o número de estados no menor NFA que aceita L).

— RB

outra idéia / ângulo, talvez haja algumas classes de circuitos "pequenas" (outro modelo de computação) para as quais é comprovado que eles podem calcular certas funções, mas a construção real é complicada? SJ mencionou recentemente Barrington que os programas de ramificação com largura 5 podem computar a maioria ...?

— vzn

@vzn A prova do teorema de Barrington fornece um procedimento fácil para converter fórmulas em programas de ramificação.

— Sasho Nikolov

@RB: ok, você pode encontrar exemplos mais interessantes da complexidade de Kolmogorov com recursos limitados (em particular a complexidade com prazos). Por exemplo, dada uma string

, qual é a menor máquina que roda no tempo

que imprime

? Nesse caso, podemos facilmente criar uma TM que imprima

, mas encontrar a menor requer a digitalização de todas as TMs

(o tempo limite o torna computável). Quando tiver mais tempo, expandirei minha resposta.

x

$x$

O (2^{n})

$O(2^n)$

x

$x$

x

$x$

| M | < | x |

$|M|<|x|$

— Marzio De Biasi

Apenas um comentário estendido com um exemplo trivial; você pode escolher o idioma de um elemento:

L_{k} = {M ∣ σ (M) = Σ (k)}

$L_k = \{ M \mid \sigma(M) = \Sigma(k) \}$

$L_k$ $k$ $k$

$k$ $L_k$ $\leq 2*k(\log k+2)$

— Marzio De Biasi
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Embora concorde que funciona, eu estava olhando para a existência mostrando técnicas de dado explicitamente a linguagem L.

— RB

O que é um "idioma explicitamente fornecido"?

— Jeffε

$\mathtt{MOD_p} = \{a^{ip} \mid i \geq 0\}$ $p$ $O(\log p)$

$O(\log^{2+o(1)}p)$ $\mathtt{MOD_p}$

REF: Seção 4.2 de (Ambainis e Yakaryilmaz, 2015) .

— Abuzer Yakaryilmaz
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Outra solução é usar o lema de Higman :

Um idioma fechado em subpalavras é regular.

$u$ $v$ $u$ $v$

Portanto, escolha qualquer linguagem L, seu fechamento de subpalavras é regular, mas não é de todo construtível, pois L é arbitrário.

— CP
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