Existem provas de existência de algoritmos não construtivos?

Lembro-me de que talvez eu tenha encontrado referências a problemas comprovadamente solucionáveis ​​com uma complexidade específica, mas sem um algoritmo conhecido para realmente atingir essa complexidade.

Eu luto em compreender como isso pode ser o caso; como seria uma prova não construtiva da existência de um algoritmo.

Existem realmente esses problemas? Eles têm muito valor prático?

Considere a função (retirada daqui )

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

Apesar da aparência, é computável pelo seguinte argumento. Ou$f$

1. $0^n$ ocorre para cada ou$n$
2. existe um para que ocorra, mas não.0 k 0 k + $k$$0^k$$0^{k+1}$

Ainda não sabemos qual é, mas sabemos que com$f \in F = \{f_\infty, f_0, f_1, \dots \}$

1. $f_\infty(n) = 1$ e
2. $f_k(n) = [n \leq k]$ .

Como , é computável - mas não podemos dizer o que é. f $F \subset \mathsf{RE}$$f$$f$

Pode não ser exatamente o que você quer dizer, mas o algoritmo mínimo ideal de spanning tree de Seth Pettie e Vijaya Ramachandran é, em certo sentido, não construtivo.

É uma questão em aberto se existe um algoritmo determinístico para calcular árvores abrangentes mínimas em tempo linear (significando ). Pettie e Ramachandran descrevem um algoritmo que calcula MSTs em tempo linear, se esse algoritmo existir .$O(n+m)$

Intuitivamente, o algoritmo deles reduz qualquer instância vertex do problema MST para instâncias menores com vértices em tempo linear, onde (digamos) . Em seguida, eles calculam a árvore de comparação ideal que calcula a árvore de abrangência mínima de qualquer gráfico -vertex por enumeração de força bruta; mesmo que isso leve um tempo exponencial quintuplicado em , é apenas o tempo . Finalmente, eles resolvem as pequenas instâncias usando essa árvore de decisão ideal.O ( n / k ) O ( k ) k = O ( log de log log log log log log n ) k k O ( log log n $n$$O(n/k)$$O(k)$$k = O(\log\log\log\log\log\log\log n)$$k$$k$$O(\log\log n)$

Em outras palavras, Pettie e Ramachandran constroem um algoritmo MST ideal apenas indiretamente, construindo um algoritmo que constrói um algoritmo MST ideal.

Aqui estão dois exemplos.

1. Alguns algoritmos usando o teorema de Robertson-Seymour . O teorema afirma que existe uma obstrução finita para cada caso, mas não fornece uma maneira de encontrar um conjunto finito. Portanto, embora possamos provar que o algoritmo existe, a declaração explícita do algoritmo dependerá do conjunto de obstruções finitas que não sabemos como encontrar. Em outras palavras, sabemos que existe um algoritmo, mas ainda não sabemos como encontrar um.

2. Um exemplo mais forte, embora menos natural, é usar essencialmente PEM ou axiomas não construtivos semelhantes. Isso é mais forte no sentido de que podemos provar que a existência construtiva de um algoritmo implicaria um axioma não construtivo (semelhante aos fracos contra-exemplos de Brouwer ). Esse exemplo é mais forte porque não apenas diz que não conhecemos atualmente nenhum algoritmo explícito (ou qualquer maneira algorítmica de encontrar um), mas também que não há esperança de fazê-lo.

   Como exemplo, podemos usar o PEM para provar que existe um algoritmo, enquanto não sabemos qual e uma maneira construtiva de encontrar um implicaria um axioma não construtivo. Deixe-me dar um exemplo simples:

   O problema da parada é trivialmente decidível para cada máquina de Turing fixa (cada TM pára ou não para e, em cada caso, existe uma TM que gera a resposta certa), mas como podemos encontrar um algoritmo que resolva o problema corretamente sem resolver ( a versão uniforme do) o problema da parada?

   Mais formalmente, não podemos provar construtiva que, dada uma TM , há uma TM que decide o problema da parada para . Mais formalmente, a seguinte declaração não pode ser comprovada construtivamente:$M$$H_T$$M$

   $$\forall e\in \mathbb{N} \ \exists f\in \mathbb{N} \ \left[ (\{f\}( \ )=0 \land \{e\}\mathord{\downarrow}) \lor (\{f\}( \ )=1 \land \{e\}\mathord{\uparrow}) \right]$$

   Aqui é a TM com o código (em alguma representação fixa das TMs), significa pára e significa não para.$\{e\}$$e$$\{e\}\mathord{\downarrow}$$\{e\}$$\{f\}\mathord{\uparrow}$$\{f\}$

Sim.

Em um ponto em (1), o teorema da dicotomia com gráfico de contagem ponderada complexa para qualquer tamanho de domínio finito, Cai, Chen e Lu apenas provam a existência de uma redução no tempo polinomial entre dois problemas de contagem por interpolação polinomial. Não conheço nenhum valor prático para esse algoritmo.

Consulte a Seção 4 da versão do arXiv. O lema em questão é o lema 4.1, chamado de "primeiro lema de fixação".

Uma maneira de tornar essa prova construtiva é provar a versão complexa de um resultado de Lovasz , a saber:

Para todo , se existir um automorfismo de tal que .$G$$Z_H(G, w, i) = Z_H(G, w, j)$$f$$G$$f(i) = j$

Aqui, é um vértice em , e são vértices em , e é a soma sobre todos os homomorphisms gráfico complexas-ponderada de para com a restrição adicionou que devem ser mapeadas de .$w$$H$$i$$j$$G$$Z_H(G, w, i)$$G$$H$$i$$w$

(1) Jin-Yi Cai, Xi Chen e Pinyan Lu, homomorfismos gráficos com valores complexos: um teorema da dicotomia ( arXiv ) ( ICALP 2010 )

Alguns resultados iniciais do final dos anos 80:

• Fellows e Langston, " Ferramentas não construtivas para provar a decidibilidade em tempo polinomial ", 1988

• Brown, Fellows, Langston, " Auto-redutibilidade no tempo polinomial: motivações teóricas e resultados práticos ", 1989

Do resumo do segundo item:

Avanços fundamentais recentes na teoria dos grafos, no entanto, disponibilizaram novas e poderosas ferramentas não-construtivas que podem ser aplicadas para garantir a associação ao P. Essas ferramentas são não-construtivas em dois níveis distintos: elas não produzem o algoritmo de decisão, estabelecendo apenas a finitude de um conjunto de obstruções. , nem revelam se esse algoritmo de decisão pode ajudar na construção de uma solução. Analisamos e ilustramos brevemente o uso dessas ferramentas e discutimos a tarefa aparentemente formidável de encontrar os algoritmos promissores de decisão em tempo polinomial quando essas novas ferramentas se aplicam.

Um exemplo de uma família infinita de problemas (de valor prático questionável) para os quais podemos mostrar:

1. Que para cada problema existe um algoritmo para resolvê-lo.
2. Que não há como construir esses algoritmos (em geral).

Em outras palavras, uma prova comprovadamente não construtiva. Nossa família de problemas ( desta pergunta ) para cada máquina de Turing :$M$

$L_{M}=\Bigl\{\langle M'\rangle \;\Big|\;\; L(M)=L(M') \text{ and } |\langle M\rangle| \geq | \langle M' \rangle| \Bigr\}$

1. Para cada esse é um conjunto finito e, portanto, decidível.$M$

2. Se tivéssemos uma prova construtiva (em um sistema formal adequado) que, dada a descrição de uma Máquina de Turing gerasse uma Máquina de Turing que decidisse seguida, duas máquinas e (com ), então poderíamos testar a igualdade dos idiomas reconhecidos por essas máquinas executando . Uma impossibilidade pelo teorema de Rice; assim, uma prova construtiva não existe.H P ( ⟨ M ⟩ ) G M M M ' | ⟨ M ⟩ | ≥ | ⟨ M ' ⟩ | P ( ⟨ M ⟩ ) ( ⟨ M ' ⟩ ) $P$$M$$P(\langle M \rangle)$$L_M$$M$$M'$$|\langle M \rangle | \geq |\langle M' \rangle|$$P(\langle M \rangle)(\langle M' \rangle)$$P$

De "Teoria da bidimensionalidade e notas de palestra de teoria menor de algoritmos algorítmicos", para o Tutorial de MohammadTaghi Hajiaghayi, de Mareike Massow, Jens Schmidt, Daria Schymura e Siamak Tazari.

Cada propriedade de gráfico fechado menor pode ser caracterizada por um conjunto finito de menores proibidos.

Infelizmente, seu resultado é “inerentemente” não construtivo, ou seja, não existe um algoritmo que possa geralmente determinar quais menores devem ser excluídos para uma determinada propriedade de gráfico fechado menor. Além disso, o número de menores proibidos pode ser alto: por exemplo, para gráficos incorporados no toro, mais de 30.000 menores proibidos são conhecidos, mas a lista está incompleta.

[...]

Cada propriedade de gráfico fechado menor pode ser decidida em tempo polinomial (mesmo em tempo cúbico).

Lema local algorítmico de Lovász - "o lema algorítmico local de Lovász fornece uma maneira algorítmica de construir objetos que obedecem a um sistema de restrições com dependência limitada. ... No entanto, o lema não é construtivo, pois não fornece nenhuma percepção de como para evitar os maus eventos ". Em algumas suposições / limitações na distribuição, um algoritmo construído é dado por Moser / Tardos [1]. o lema local de Lovasz parece ter várias conexões profundas com a teoria da complexidade, por exemplo, veja [2]

[1] Uma prova construtiva do lema local geral de Lovász por Moser, Tardos.

[2] Lema local e satisfação de Lov'asz Gebauer, Moser, Scheder, Welzl