Prova simples de Ω (n lg n) pior caso para unicidade / distinção?

Existem várias provas para o limite inferior loglinear do problema de singularidade / distinção de elementos (baseado em árvores de computação algébrica ou argumentos contraditórios), mas estou procurando uma que seja simples o suficiente para usar em um primeiro curso de análise e design de algoritmos. O mesmo "nível de dificuldade" que o limite inferior para classificação seria bom. Além disso, qualquer abordagem (por exemplo, combinatória ou baseada na teoria da informação) seria adequada. Alguma sugestão?

cc.complexity-theory lower-bounds proofs

— Magnus Lie Hetland
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o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

A pergunta de Warren em seu comentário é uma boa decisão. Relacionado a isso, o comentário de David Eppstein sobre outra questão é esclarecedor, onde ele enfatiza a importância de especificar o modelo computacional quando falamos sobre esse tipo de limites inferiores. A propósito, não tenho certeza se faz sentido listar "árvores de computação algébrica" (um modelo de computação) e "argumentos contraditórios" (um método de prova) lado a lado.

— Tsuyoshi Ito

Muito bons pontos. Minha aplicação aqui está explicando sobre provas de dureza por redução - por exemplo, reduzindo da exclusividade para a classificação (e vários outros problemas). Portanto, estou assumindo as mesmas operações básicas que ao trabalhar com classificação de comparação (para que a redução funcione). (Ou, eu acho, algo equivalente à RAM com números reais.)

— Magnus Lie Hetland

Respostas:

Qualquer certificado (prova) de distinção que use apenas <, = e> deve incluir comparações entre cada par de elementos adjacentes na ordem classificada. Portanto, qualquer certificado de distinção fornece informações suficientes para classificar e, portanto, o limite inferior teórico da informação padrão para classificação também se aplica a qualquer algoritmo determinístico de distinção.

— Warren Schudy
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Esse argumento funciona para árvores de comparação, mas não (diretamente) para modelos de árvore de decisão mais gerais.

— Jeffε

JeffE: Eu concordo. Duvido que haja uma prova suficientemente simples para os propósitos de Magnus que funcione em um modelo mais geral.

— Warren Schudy 15/10/10

Direita. Árvores de comparação são boas para o meu aplicativo - então acho que isso é bem parecido com o que estou procurando. Meu aplicativo estava explicando a idéia de provas de dureza, inclusive reduzindo a classificação, de modo que o fato de a prova de classificação ser usada aqui meio que provoca um curto-circuito na coisa toda. Eu acho que eu deveria ter declarado que explicitamente :-)

— Magnus Lie Hetland

Não tenho certeza se entendi a pergunta corretamente, mas a prova de Dobkin e Lipton [DL79] de que o problema de exclusividade em n números requer comparações Ω ( n log n ) no modelo linear de árvore de decisão é muito mais fácil do que o resultado mais forte em o modelo de árvore de computação algébrica de Ben-Or [Ben83] (não surpreendentemente).

Referências

Michael Ben-Or. Limites inferiores para árvores de computação algébrica. Em Anais do Décimo Quinto Simpósio Anual da ACM sobre Teoria da Computação (STOC 1983) , pp. 80–86, abril de 1983. http://doi.acm.org/10.1145/800061.808735

[DL79] David P. Dobkin e Richard J. Lipton. Sobre a complexidade dos cálculos sob vários conjuntos de primitivas. Journal of Computer and System Sciences , 18 (1): 86–91, fevereiro de 1979. http://dx.doi.org/10.1016/0022-0000(79)90054-0

— Tsuyoshi Ito
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Em resumo: considere o espaço R ^ n de todas as entradas possíveis. O conjunto de entradas positivas tem n! componentes conectados, um para cada permutação. Por outro lado, as entradas do subconjunto que podem alcançar qualquer folha em uma árvore de decisão linear são convexas e, portanto, conectadas. Portanto, qualquer árvore de decisão linear que determine exclusividade possui pelo menos n! folhas.

— Jeffε

Um argumento mais sutil é necessário para o caso especial de entradas inteiras. Veja Lubiw e Rács, "Um limite inferior para o problema da distinção de elementos inteiros", Information and Computation 1991; ou Yao, "Limites inferiores para árvores de computação algébrica com entradas inteiras", FOCS 1989.

— Jeffε

@ Jeff: Sua breve explicação é maravilhosa. Também obrigado pelo ponteiro para resultados interessantes. Nunca me ocorreu que o limite inferior de Ben-Or não se aplica imediatamente ao caso em que a entrada é restrita a números inteiros!

— Tsuyoshi Ito

Jeff: estes devem estar em uma resposta!

— Suresh Venkat

Obrigado a Tsuyoshi Ito e JeffE. Eu já vi a prova de espaço R ^ n antes (em um cenário usando argumentos contraditórios). Eu pensei que era um pouco complexo demais para o meu público-alvo quando o li pela primeira vez, mas acho que talvez não seja realmente. Obrigado. (Eu também vi o artigo sobre o caso inteiro - Eu acho que eu não vou entrar em que, na minha palestra ... :)

— Magnus Lie Hetland