Idiomas reconhecidos pelos DFAs de tamanho polinomial

Para um alfabeto finito fixo , uma linguagem formal sobre é regular, se existe um autômato finito determinístico (DFA) sobre que aceita exatamente . $\Sigma$ $L$ $\Sigma$ $\Sigma$ $L$

Estou interessado em idiomas "quase" regulares no sentido de que podem ser reconhecidos por famílias de tamanho de autômatos que crescem apenas polinomialmente com o comprimento da palavra.

Formalmente, deixe-me dizer que uma linguagem formal é reconhecida por uma família DFA se para cada palavra , deixando, está em se aceita (não importa se os outros aceitam ou não) e deixe-me definir idiomas regulares como idiomas reconhecidos por uma família DFA computável em PTIME de tamanho polinomial, ou seja, é um polinômio tal que para todos os $L$ $(A_n)$ $w \in \Sigma^*$ $n = |w|$ $w$ $L$ $A_n$ $w$ $A_i$ $(A_n)$ $P$ $|A_n| \leq P(n)$ $n$ . (Esse nome, "p-regular", é algo que eu inventei, minha pergunta é saber se já existe outro nome para isso. Observe que isso não é o mesmo que idiomas p-regulares no sentido de autômatos de permutação .)

Esta classe de idiomas regulares p inclui, obviamente, idiomas regulares (basta pegar para todos os , onde é um DFA que reconhece o idioma regular); mas é um superconjunto estrito: por exemplo, é sabido que é livre de contexto, mas não regular, mas é regulares ( apenas tem que contar ocorrências de e ocorrências de ). No entanto, como eu exijo que os autômatos sejam DFAs de tamanho polinomial , algumas linguagens formais (na verdade algumas linguagens sem contexto) não são $A_n = A$ $n$ $A$ $\{a^n b^n \mid n \in \mathbb{N}\}$ $A_n$ $n$ $a$ $n$ $b$ p-regular: por exemplo, o idioma dos palíndromos não é p-regular, porque, intuitivamente, quando você lê a primeira metade de uma palavra, você precisa ter o maior número possível de estados possíveis, porque você precisará para combinar exatamente esse primeiro tempo com o segundo.

Portanto, a classe de linguagens p-regulares é um superconjunto estrito de linguagens regulares que é incomparável com linguagens sem contexto. Na verdade, parece que você pode até obter uma hierarquia de línguas, distinguindo línguas p regular com base no menor grau do polinômio para o qual eles são -Regular. Não é muito difícil construir exemplos para mostrar que essa hierarquia é estrita; embora ainda não compreenda bem a interação entre isso e uma definição alternativa da hierarquia que também restringiria a complexidade da computação do . $P$ $P$ $A_n$

Minha pergunta é: essa classe que chamo de p-regular e a hierarquia associada já foram estudadas antes? Se sim, onde e sob qual nome?

(Um possível link está com o campo, o fluxo ou os algoritmos on-line. Na terminologia dos algoritmos de fluxo para problemas de reconhecimento de idioma , estou interessado na classe (ou hierarquia) de idiomas que podem ter algoritmos determinísticos de reconhecimento de uma passagem, usando um número polinomial de estados (portanto, um tamanho de memória logarítmica), mas não encontrei nenhuma definição dessa classe neste artigo ou em artigos relacionados. Note, no entanto, que, ao descrever o problema, o comprimento da palavra é conhecido antecipadamente , o que é menos natural em um contexto de streaming: no streaming, você pode ver isso como um autômato infinito, um símbolo especial de "fim de palavra" e uma restrição de que o número de estados alcançáveis após a leitura de caracteres seja polinomial em $n$ $n$ . Penso que essa distinção faz diferença, exemplo possível: linguagem de palavras binárias cujo valor é divisível por seu comprimento, o que é fácil por um comprimento fixo, mas (conjecturo) não pode ser representado por um autômato infinito no sentido anterior, porque nenhuma identificação pode ser feito se o comprimento não for conhecido antecipadamente.)

(A motivação para esta aula p-regular é que alguns problemas, como a probabilidade de pertencer ao idioma para palavras probabilísticas, parecem ser PTIME não apenas quando o idioma é regular, mas também quando é p-regular, e estou tentando caracterizar exatamente em que circunstâncias esses problemas são tratáveis.)

— a3nm
fonte

Argh, eu não havia pensado adequadamente na questão da computabilidade do

. Obrigado por apontar isso. Acabei de adicionar o requisito de que eles são computáveis. Espero que não haja situações ruins de linguagens regulares regulares que precisem empregar famílias computáveis, mas de alta complexidade

(A_{n})

$(A_n)$

(A_{n})

$(A_n)$

— a3nm 5/05

Ok, eu apaguei o comentário "não-confiável". Mas, mesmo com a restrição computável você ainda pode obter coisas estranhas como: escolher

é NEXP-completo (

contrário). Talvez você possa restringir ainda mais a restrição de que

deve ser computável em tempo polinomial?!?

A_{n} = {1^{n} ∣ n \in B}

$A_n = \{ 1^n \mid n \in B \}$

B

$B$

A_{n} = \emptyset

$A_n = \emptyset$

A_{n}

$A_n$

— Marzio De Biasi

Marzio: Argh, você está certo. Para minha motivação, a noção correta é que os

são computáveis em PTIME, sim, então mudei para isso ... ainda assim, me incomoda um pouco que a complexidade de calcular o

tenha tanta influência no classe resultante (porque significa que esta é uma escolha adicional que deve ser feita na definição ...). Isso também complica a imagem da hierarquia em que eu estava pensando.

A_{n}

$A_n$

(A_{n})

$(A_n)$

— A3nm 5/05

Não vejo o que há de errado com a desconformidade, o que você define é uma classe de linguagem não uniforme, como muitas classes de circuito.

— Domotorp 5/05

Se você fortalecer a condição de uniformidade para o espaço de log, todos esses idiomas serão computáveis no espaço de log. De acordo com a definição dada, todas as linguagens p-regulares estão em "P-uniforme L" (reconhecível por uma família de programas P-uniformes de ramificação, ou por um espaço de registro TM com um conselho computável em tempo).

— Emil Jeřábek apoia Monica

a questão parece não ter sido muito estudada (uma possibilidade é tentar encontrar um relacionamento com uma classe de complexidade "próxima", como P / poli etc); embora aqui haja pelo menos uma referência que toque nela:

Operações de linguagem com expressões regulares de tamanho polinomial Gruber / Holzer

Este trabalho trata de questões sobre até que ponto as operações de linguagem que preservam a regularidade afetam a complexidade descritiva das expressões regulares. São identificadas algumas operações de linguagem que são viáveis para expressões regulares no sentido de que o resultado da operação pode ser representado como uma expressão regular de polinômio de tamanho no dos operandos. Provamos que a obtenção de quocientes de idioma, em particular o fechamento de prefixos e sufixos de um conjunto regular, pode incorrer no máximo em uma explosão quadrática no tamanho de expressão necessário. A operação de deslocamento circular pode causar apenas um aumento cúbico no tamanho e pelo menos um inchaço quadrático pode ser necessário no pior caso.

como o AS sugere, pode haver outras maneiras mais naturais de estudar algo como a pergunta colocada. aqui está outra maneira um pouco semelhante de estudar o crescimento de uma linguagem regular com base no número de palavras de tamanho que tem alguma relação frouxa com a pergunta $n$

Encontrar a taxa de crescimento de uma linguagem regular ou sem contexto em tempo polinomial (Gawrychowski, Krieger, Rampersad, Shallit)

Dada uma linguagem L sem contexto, podemos testar se é de crescimento polinomial ou exponencial no tempo polinomial. Além disso, se for de crescimento polinomial, também podemos encontrar a ordem exata desse polinômio no tempo polinomial.

— vzn
fonte

Embora não esteja explicitamente declarado lá, a prova do resultado principal do artigo a seguir implica que a classe de linguagens regulares-p não está contida no NC ^ 1 monótono. H. Gruber e J. Johannsen: "Limites inferiores ótimos no tamanho da expressão regular usando a complexidade da comunicação", FoSSaCS 2008, LNCS 4962, pp. 273-286. hermann-gruber.com/data/fossacs08.pdf

— Hermann Gruber

adendo, deparamos com estas classes de autômato finito / Kralovic da tese de doutorado 2010 Complexity, que definem algo semelhante ao que é solicitado para p11 re "pequenas linguagens". parece uma pesquisa abrangente dessa área geral e constrói uma estrutura / abstrações teóricas gerais de conceitos relacionados. no entanto, não existem muitos teoremas diretamente relacionados à classe específica de "famílias DFA de tamanho P".

— vzn

@vzn: A definição na p11 da tese de Kralovic é um pouco diferente porque se trata de famílias de idiomas, enquanto na minha pergunta os vários idiomas são palavras de comprimento fixo retiradas de apenas um idioma principal. Não tenho certeza de nenhuma das conexões com o artigo de Gruber e Holzer que você fornece, não vejo como na minha pergunta você poderia pensar nos autômatos como resultado de operações de preservação de regularidade em geral. Quanto a Gawrychowski et al, concordo que possa estar relacionado tangencialmente.

— A3nm 13/05

a referência de Gruber / Holzer parece ajudar com a idéia de reduções regulares de P com propriedades do tipo "fechamento regular de P". concordou que sua definição parece diferente de qualquer outra coisa estudada. em outras palavras, presumivelmente há reduções entre alguns desses problemas / classes e os árbitros seguem essas direções; pode-se procurar operações semelhantes a reduções que conectam seu def a classes estudadas / publicadas anteriormente (concordou que seu defn não implica nenhum operações de redução). talvez a resposta rigorosa à sua pergunta é "não a sua classe não foi estudado exatamente"

— vzn