Para quais famílias de gráficos a Geografia Generalizada está em

Como o @Marzio mencionou, o jogo a seguir é conhecido como Geografia Generalizada .

Dado um gráfico e um vértice inicial , o jogo é definido da seguinte forma: $G=(V,E)$ $v \in V$

A cada turno (dois jogadores alternando), um jogador escolhe e, em seguida, acontece o seguinte: $u\in N(v)$

$v$ , bem como todos os seus bordos, é removida a partir de . $G$
$u\to v$ (ou seja, é atualizado para ser o vértice ). $v$ $u$

O jogador que é forçado a selecionar um "beco sem saída" (ou seja, um vértice sem arestas de saída) perde.

Em quais famílias de gráficos a estratégia ideal é computável em tempo polinomial?

Por exemplo, é fácil ver que, se é um DAG, podemos calcular facilmente a estratégia ideal para os jogadores. $G$

graph-theory graph-algorithms gt.game-theory

— RB
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O jogo é conhecido como Geografia Generalizada e é completo no PSPACE (mesmo em gráficos direcionados planares). Veja Complexidade de jogos percurso de formao para algumas variantes (também algum tempo polinomial variantes)

— Marzio De Biasi

Você pode ser mais específico? Por exemplo, no link de Marzio, você pode ver que a largura da árvore limitada é suficiente.

— Domotorp

@domotorp: Eu acho que o GG em gráficos de grade sólida não direcionada é um problema aberto não resolvido (talvez também não seja estudado). Vou pesquisar um pouco no Google para ver se é um novo problema. Embora, no caso de gráficos de grade sólida direcionada, pareça fácil simular "furos" usando as arestas direcionadas, portanto deve ser completo no PSPACE.

— Marzio De Biasi

A Geografia Generalizada (GG) é completa no PSPACE, mesmo em gráficos bipartidos direcionados planares, mas, conforme relatado em:

Hans L. Bodlaender, Complexidade dos jogos de formação de caminhos , Ciência da Computação Teórica, Volume 110, Edição 1, 15 de março de 1993, Páginas 215-245

GG (e algumas outras variantes completas do PSPACE) são linearmente resolvíveis no tempo em gráficos de largura de árvore limitada.

NOTA LATERAL: uma das variantes da Geografia Generalizada que recentemente se mostrou completa no PSPACE é Tron ( jogo Light Cycles ): dado um gráfico não direcionado, dois jogadores escolhem dois vértices iniciais diferentes e depois se revezam, movendo-se para um adjacente vértice do respectivo respectivo anterior em cada etapa. O jogo termina quando os dois jogadores não podem mais se mover. O jogador que atravessou mais vértices vence (foi considerado um PSPACE completo em 1990 por Bodlaender e Kloks).
Tillmann Miltzow, Tron, um jogo combinatório em gráficos abstratos (2011)

$n \times m$

               Width n
           1 2 3 4 5 6 7 8 
         1 A B A B A B A B    Winning matrix up to 8x8
         2   B B B B B B B 
         3     A B A B A B 
Height m 4       B B B B B  
         5         A B A B 
         6           B B B 
         7             A B 
         8               B

Curiosamente, a mesma matriz é obtida se o jogador A puder escolher um nó inicial arbitrário.

Como dito nos comentários, acho que a complexidade de decidir se existe uma estratégia vencedora quando o GG é jogado em gráficos sólidos (com formas arbitrárias, mas sem buracos) não é conhecida e, provavelmente, não é tão fácil provar algo sobre isso. (na verdade, o problema - de certa forma relacionado - de decidir se um gráfico de grade sólido tem um caminho hamiltoniano ainda está aberto, embora decidir se um gráfico de grade sólido tem um ciclo hamiltoniano é solucionável em tempo polinomial).

Uma nota trivial final: GG também pode ser resolvido no tempo polinomial em gráficos completos.

— Marzio De Biasi
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Você tem certeza que o ciclo hamiltoniano no gráfico de grade sólida é passível de solução polinomial? Pelo que me lembro, é desconhecido, por outro lado, se essa grade sólida tiver algumas estruturas (como forma de L, forma de T, mxn, ...), é polinomial solucionável em tempo, mas não me lembro de nenhum papel que a resolva em tempo polinomial em geral, gráficos de grade sólida. Você tem uma referência?

— Saeed

@Saeed Parece que Umans e Lenhart resolveram o antigo problema aberto, veja Ciclos Hamiltonianos em sólidos Grid Grid . Há pouco tempo, procurei resultados recentes / relacionados sobre o caminho hamiltoniano em gráficos de grade sólida, mas não encontrei nada. (Eu acho que há também uma questão relacionada em algum lugar cstheory)

— Marzio De Biasi

Obrigado, isso é realmente ótimo e também não é um FOCS1997 muito novo , mas nunca o vi antes!

— Saeed

Ótima resposta @MarzioDeBiasi. Na verdade, me deparei com esse problema em um cenário diferente, que pode ser modelado como um gráfico de grade, mas estava curioso sobre sua generalização.

— RB

Passei meia hora, mas não consegui encontrar nenhuma referência para a Geografia Generalizada Indireta. Tenho certeza que deve ter sido demonstrado por alguém para ser completo no PSPACE. Você talvez saiba sobre isso?

— Domotorp 27/09/14

$1$ $c$ $G-c$ $0$ $c$ $1$

— Saeed
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