Ainda existem problemas em aberto nos DFAs?

Depois de estudar autômatos determinísticos de estado finito (DFA) na graduação, senti que eles eram extremamente bem compreendidos. Minha pergunta é se há algo que ainda não entendemos sobre eles. Não quero dizer generalizações de DFAs, mas os DFAs originais não modificados que estudamos na graduação.

Essa é uma pergunta vaga, mas espero que você entenda. Quero entender se é justo dizer que entendemos completamente os DFAs. Então, eu realmente quero dizer perguntas que são inerentemente sobre DFAs, não problemas criados artificialmente para parecer um problema sobre DFAs. Deixe-me dar um exemplo desse problema. Seja L o idioma vazio se P = NP e algum idioma fixo não regular se P não for NP. Posso ser aceito por um DFA? Esta pergunta é sobre DFAs, mas não é sobre eles em espírito. Espero que meu argumento seja claro e não receba respostas não pedantes das pessoas.

Em suma, é justo dizer

Essencialmente, entendemos completamente os DFAs.

Sinto muito se essa é uma área enorme de pesquisa que eu não conhecia e que acabei de insultar uma comunidade inteira de pessoas.

Aqui está um problema descrito no livro "Um segundo curso de linguagens formais e teoria dos autômatos", de Shallit.

Seja e duas palavras distintas com . Qual é o tamanho do menor DFA que aceita mas rejeita ou vice-versa?v | u | = | v | = n u $u$$v$$|u|=|v|=n$$u$$v$

Robson, em seu artigo " Separando strings com pequenos autômatos ", em 1989, provou um limite superior . O limite inferior mais conhecido em .Ω ( log n $O(n^{2/5}(\log n)^{3/5})$$\Omega(\log n)$

Para uma pesquisa, veja isso .

Aqui está um problema de decisão muito simples sobre os DFA. Dado um DFA M, M aceita a representação da base 2 de pelo menos um número primo?

Atualmente, nem sabemos se esse problema é recursivamente solucionável.

Se for recursivamente solucionável e tivermos um algoritmo para isso, poderemos resolver o problema aberto de longa data sobre se existem primos de Fermat (primos do formato ) maiores que o maior conhecido, 65537. (Como qualquer primo com representação de base 2 da forma deve ser um primo de Fermat.)1 0 +$2^{2^n} + 1$$1 0^+ 1$

A conjectura de Černý ainda é aberta e importante. Trata-se de DFAs que possuem uma palavra de sincronização (uma palavra com a propriedade que duas cópias do autômato iniciaram em estados diferentes sempre terminam no mesmo estado após o processamento da palavra) e pergunta se (para state autômatos) o comprimento da palavra mais curta é sempre no máximo ( n - 1 ) 2 . Os melhores limites comprovados são da forma O ( n 3 ) .$n$$(n-1)^2$$O(n^3)$

Quero apontar o outro problema de pesquisa, que diz respeito à interação de conceitos muito básicos sobre os DFAs.

É sabido que qualquer NFA de estado n pode ser convertida em um DFA equivalente com no máximo estados. Isso é melhor possível no pior caso, no sentido de que existem linguagens regulares de complexidade de estados não determinísticos n (isto é, o número de estados em uma NFA mínima), mas de complexidade de estados determinísticos 2 n . Existem também exemplos de famílias de idiomas, nas quais o não-determinismo pode salvar um fator quadrático e os casos em que o não-determinismo não ajuda a salvar nenhum estado. Assim, uma pergunta natural é a seguinte:$2^n$$2^n$

Problema com número mágico

Existe, para cada entre n e 2 n , uma linguagem regular L n tal que a diferença entre a complexidade do estado não determinístico e a complexidade do estado determinístico seja exatamente α ?$\alpha$$n$$2^n$$L_n$$\alpha$

Se entendermos completamente a construção do conjunto de potências e a relação Myhill-Nerode de uma perspectiva matemática, esperarei que seja possível construir essas linguagens para cada ou, alternativamente, especificar os valores de α para os quais isso é impossível (se tais valores existem, são chamados de "números mágicos").$\alpha$$\alpha$

Sabe-se que existem números mágicos para o tamanho do alfabeto de entrada e, desde 2009, que não existem números mágicos se o tamanho do alfabeto for pelo menos 3 . Mas se não me engano, o caso dos alfabetos binários ainda está aberto.$1$$3$

Galina Jirásková. Números mágicos e alfabeto ternário. In: 13th Conferência Internacional sobre Desenvolvimentos em Teoria da Linguagem (DLT 2009), volume 5583 de Notas de Aula em Ciência da Computação, páginas 300-311.

Título: Não vazio de interseção para dois DFAs

Descrição: Dado dois do DFA e D 2 , não existe uma string x tal que D 1 e D 2 ambos aceitar x ?$D_1$$D_2$$x$$D_1$$D_2$$x$

Problema em aberto: podemos resolver o não vazio de interseção para dois DFAs em tempo?$o(n^2)$

Se pudéssemos resolver este problema no tempo onde δ <2, a hipótese do tempo exponencial forte seria refutada.$O(n^{\delta})$$\delta$

Explicação: Decidindo o Vazio da Interseção de Idiomas Regulares em Tempo Subquadrático

Você pode achar útil: http://rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/on-the-intersection-of-finite-automata/

Tenha um ótimo dia! :)

Aqui está um problema em aberto relacionado ao DFA e à teoria de aprendizado de máquina: o DFA uniformemente aleatório (transições aleatórias e comportamento de aceitação / rejeição) pode ser aprendido no modelo PAC?

Nota: achamos que o DFA arbitrário não é passível de aprender b / c de resultados de dureza criptográfica . Para o DFA aleatório, temos apenas limites inferiores do SQ , que não são tão fortes.

$L$$L$$L$$l$$L$$l$$L$$l$$O(n^2)$

$n$

Parece-me que uma fórmula de forma fechada deveria existir, mas nenhuma é conhecida. Alguns limites assintóticos são conhecidos:

$n$

Aqui está uma pergunta relacionada ao DFA que eu tinha aqui antes e ainda está aberta até onde eu sei:

$n$$\Sigma=\{0,1\}$$DFA(n)$$n$$|DFA(n)| = n^{2n}2^n$

$x,y\in\Sigma^*$$K_n(x,y)$$DFA(n)$ $x$$y$

$K_n(x,y)$$K_n(x,y)$$poly(n,|x|,|y|)$

Esta questão tem implicações para o aprendizado de máquina .

("pensando fora da caixa" ...) esse é um problema um tanto artificial que envolve os DFAs (não o vi estudado em outros lugares), mas manifesta um tema no TCS que mesmo muitos objetos computacionais aparentemente "simples" (como os DFAs) podem ter propriedades complexas , também um aspecto / tema incorporado no teorema de Rices. (de certa forma, a "complexidade" final é a "indecidibilidade", também conhecida como integridade de Turing.)

$n$$x$$n$$x↑n$

$DFA_n$$DFA'$$DFA'$$n$$DFA_n$$DFA'$, também é um RL (e um DFA).

$\Sigma$

$n$$DFA_n ≠ \Sigma*$

$\Sigma*$$n$

agora, para vincular isso mais à questão, embora isso não seja amplamente observado (considerado trivial por alguns), muitos problemas em aberto no TCS / matemática estão intimamente ligados à indecidibilidade, pois, dado um oráculo para o problema de parada, eles podem ser " resolvido ".

portanto, de certa forma, vinculando tudo isso usando esse problema básico de DFAs que é indecidível, sempre haverá problemas em aberto sobre os DFAs, porque sempre haverá problemas "abertos" sobre os DFAs (como este) equivalentes a problemas indecidíveis . de fato, usando o teorema de Rices ao contrário, como essa construção faz de algumas maneiras, basicamente qualquer propriedade computacional relativamente "simples", mas não trivial no TCS, pode ser usada para construir problemas indecidíveis.

[1] Problemas de palavras que exigem tempo exponencial / Stockmeyer & Meyer

[2] Meyer, AR e L. Stockmeyer. O problema de equivalência para expressões regulares com quadratura requer espaço exponencial. 13º Simpósio do IEEE sobre comutação e teoria de autômatos, outubro de 1972, pp.125-129.

[3] Introdução às linguagens, autômatos e computação / Hopcroft / Ullman.