Código de barras de um gráfico

Usando homologia persistente, podemos analisar a forma (topológica) de uma nuvem de pontos usando o seguinte método de três etapas:

• converter o conjunto de pontos em um complexo simples (e existem algumas maneiras diferentes de fazer isso) parametrizado por um parâmetro "noise"
• Calcule os grupos de homologia deste complexo (novamente parametrizado pelo parâmetro)
• observe a evolução dos grupos à medida que o parâmetro evolui.

O "tempo de vida" dos diferentes grupos parece uma coleção de intervalos, chamada de "código de barras" da forma.

Existe uma explicação fácil de como é o código de barras se o complexo simplicial é apenas um esqueleto 1 (isto é, um gráfico)? Em outras palavras, suponha que começamos com um gráfico (em vez de um conjunto de pontos) e, em seguida, executamos os dois passos restantes, como acima.

Betti-0 será um intervalo para cada vértice, com um dos intervalos envolvidos desaparecendo sempre que uma aresta conectar dois componentes. Isso será muito semelhante a um traço de um Union-Find em execução no gráfico.

Betti-1 será um intervalo para cada loop fechado essencial; correspondente a uma base atualizada em execução para o Cycle Space . Como se trata de um gráfico, eles aparecerão sempre que for adicionada uma aresta que não conecte dois componentes disjuntos e nunca mais desapareça.

O gráfico já é um complexo simplicial composto por 0 e 1 simplicidades (nós e arestas). A representação do código de barras é significativa somente quando o complexo simplicial é construído passo a passo, de modo que o complexo na etapa k seja um subconjunto do complexo na etapa k + 1, isto é, os vértices e as arestas são inseridos nele em alguma ordem.

Supondo que os vértices sejam adicionados no "tempo" / "valor do parâmetro" 0 e todas as arestas sejam adicionadas no "tempo" / "valor do parâmetro" 1: o código de barras betti_0 será simplesmente um conjunto de linhas que representam o número de componentes disjuntos de o gráfico e betti_1 serão simplesmente um conjunto de linhas que representam cada loop "básico" no gráfico (consulte o espaço de ciclo de um gráfico).

Existem várias maneiras de construir essas funções de ordenação em um gráfico, por exemplo, calcule qualquer função sobre os vértices (digamos o grau de qualquer vértice) e diga que vértices com graus mais baixos "nascem" antes dos vértices com maior grau. Agora diga que uma aresta é adicionada sempre que os dois vértices existirem. Agora, você pode construir uma visão de homologia persistente do gráfico fornecido na distribuição de graus. Muitas outras funções podem ser construídas, por exemplo, pagerank, laplacianos etc.

O que foi dito acima está correto, mas adicionarei uma ruga interessante que deve ser mais conhecida.

Se você usar a distância do gráfico como seu parâmetro de persistência e calcular a persistência do complexo Rips, também poderá encontrar uma homologia dimensional mais alta. Por exemplo, os números betti de persistência para N pontos igualmente espaçados em um círculo se parecem com:

$$\begin{array}{*{27}{l}} N & b1 & b2 & b3 & b4 & b5 & b6 & b7 & b8 & b9 & b10 & b11 & b12 \\ 3 & & & & & & & & & & & \\ 4 & 1 & & & & & & & & & & \\ 5 & 1 & & & & & & & & & & \\ 6 & 1 & 1 & & & & & & & & & \\ 7 & 1 & & & & & & & & & & \\ 8 & 1 & 0 & 1& & & & & & & & & \\ 9 & 1 & 2 & & & & & & & & & \\ 10 & 1 & 0 & 0 & 1 & & & & & & & \\ 11 & 1 & 0 & 1 & & & & & & & & \\ 12 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & & & & & & \\ 13 & 1 & 0 & 1 & & & & & & & & \\ 14 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & & & & & \\ 15 & 1 & 4 & 0 & 2 & & & & & & & & \\ 16 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 &1 & & & & \\ 17 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & & & & & & & \\ 18 & 1 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & & & \\ \end{array}$$

(onde persistência betti number significa apenas contar o número de barras de qualquer comprimento que aparecem em cada dimensão)

A distinção entre essa situação e a pergunta feita é que eu não estou filtrando o gráfico - em vez disso, persisto no espaço métrico abstrato que é realizado pelas distâncias da aresta do gráfico.