Função monótona aleatória

No artigo de Razborov-Rudich, Natural Proofs , página 6, na parte em que discutem que existem "fortes provas de limites inferiores contra modelos de circuitos monótonos " e como elas se encaixam na figura, existem as seguintes frases:

Aqui a questão não é construtividade - as propriedades usadas nessas provas são todas viáveis ​​- mas parece que não existe um bom análogo formal da condição de grandeza. Em particular, ninguém formulou uma definição viável de uma "função monótona aleatória".

Não é fácil distinguir as saídas de uma função monótona de uma sequência aleatória? A existência de limites inferiores fortes não está nos dizendo que não existem tais coisas?

Minha pergunta é:

O que eles querem dizer com uma definição viável de uma "função monotônica aleatória" ?

Não tenho certeza, mas acho que o problema aqui é o fato de não termos suposições fortes sobre geradores de funções monótonas pseudo-aleatórias (pelo menos nenhuma que eu conheça). A idéia da prova no artigo de Razborov-Rudich é a seguinte:

se houver uma propriedade natural de funções (ou seja, uma propriedade eficientemente decidível que detenha um subconjunto de funções suficientemente grande e implique que a função precise de grandes circuitos), ela poderá ser usada para quebrar geradores de funções pseudo-aleatórias (que também quebram geradores pseudo-aleatórios e um funções intermediárias).

Se reformularmos o teorema em termos de funções monótonas e circuitos monótonos, gostaríamos que ele dissesse

se houver uma propriedade natural de funções monótonas (ou seja, uma propriedade eficientemente decidível que detenha um subconjunto suficientemente grande de funções monótonas e implique que a função precise de grandes circuitos monótonos ), ela poderá ser usada para interromper geradores de funções pseudo-aleatórias (que também quebram pseudo-aleatórias geradores e funções de mão única),

mas agora a prova do papel para de funcionar, porque nosso gerador pseudoaleatório gera funções gerais, não necessariamente monótonas, e não podemos usar nossa propriedade natural para quebrá-la, porque mesmo um subconjunto relativamente grande de funções monótonas não será grande em relação a funções gerais, pois o conjunto de funções monotônicas em si não é grande em relação ao conjunto de todas as funções ( http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_number ). Poderíamos definir um gerador de funções monótonas pseudo-aleatórias e usar a propriedade natural para quebrá-lo, mas provavelmente não teríamos a equivalência entre esse gerador e as funções unidirecionais, para que o teorema não fosse tão interessante.

Talvez essa dificuldade possa ser corrigida (mas não acho que decorra da prova do artigo de maneira direta) e talvez o problema com as funções monótonas esteja em outro lugar. Eu realmente gostaria que alguém mais experiente do que eu confirmasse minha resposta ou mostrasse onde estou errado.