Corte máximo com arestas com peso negativo

$G = (V, E, w)$ $w:E\rightarrow \mathbb{R}$

arg max S \subset V \sum (u, v) \in E : u \in S, v \notin S w (u, v)

$\arg\max_{S \subset V} \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not \in S}w(u,v)$

w(e)≥0 $w(e) \geq 0$

e∈E $e \in E$

Escolher um subconjunto aleatório de vértices . $S$
Escolha uma ordem nos vértices e coloque avidamente cada vértice em ou para maximizar as arestas cortadas até o momento $v$ $S$ $\bar{S}$
Faça melhorias locais: se houver algum vértice em que possa ser movido para para aumentar o corte (ou vice-versa), faça a mudança. $S$ $\bar{S}$

A análise padrão de todos esses algoritmos realmente mostra que o corte resultante é pelo menos tão grande quanto , que é um limite superior em o peso do corte máximo se não for negativo - mas se algumas arestas tiverem peso negativo, não será! $\frac{1}{2}\sum_{e \in E}w(e)$ $1/2$ $w$

Por exemplo, o algoritmo 1 (escolha um subconjunto aleatório de vértices) pode falhar claramente em gráficos com pesos de borda negativos.

Minha pergunta é:

Existe um algoritmo combinatório simples que obtém uma aproximação O (1) para o problema de corte máximo em gráficos que podem ter pesos de borda negativos?

Para evitar o possível problema do valor máximo de corte , permitirei que e / ou fique satisfeito com algoritmos que resultam em pequeno erro aditivo, além de uma aproximação de fator multiplicativo. $0$ $\sum_{e \in E}w(e) > 0$

— Aaron Roth
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A condição "combinatória simples" é essencial aqui?

— Hsien-Chih Chang # 20/10/10

Estou mais interessado em um algoritmo combinatório simples, como as 2 aproximações para o caso de peso positivo. Observe que estou perguntando sobre qualquer aproximação O (1), portanto, esperaria que, se algum algoritmo pudesse conseguir isso, isso seria possível com uma simples. Mas eu também estaria interessado em que garantias de desempenho são para algoritmos SDP em grafos com pesos borda negativa, ou evidência de que nenhum algoritmo de aproximação de fator constante existe se

. P≠NP $P \ne NP$

— Aaron Roth

Respostas:

Aqui foi minha primeira tentativa de discussão. Estava errado, mas eu o corrigi após o "EDIT:"

Se você pudesse resolver de maneira eficiente o problema de corte máximo com pesos negativos nas bordas, não poderia usá-lo para resolver o problema de corte máximo com pesos positivos nas bordas? Comece com um problema de corte máximo que você deseja resolver cuja solução ideal é . Agora, coloque uma grande margem de peso negativo (com peso ) entre e . A solução ideal do novo problema é , portanto, nosso hipotético algoritmo de aproximação fornecerá uma solução com corte máximo cujo valor é no máximo pior que o ideal. No gráfico original, o corte máximo ainda é no máximo $b$ $-a$ $u$ $v$ $b-a$ $(b-a)/2$ pior que o ideal. Se você escolher perto de , isso viola o resultado inapproximability que, se P NP, você não pode aproximada max-corte para melhor do que um fator. $(b-a)/2$ $a$ $b$ $\neq$ $16/17$

EDITAR:

O algoritmo acima não funciona porque você não pode garantir que e estejam em lados opostos do corte no novo gráfico, mesmo se eles estivessem originalmente. Eu posso corrigir isso da seguinte maneira, no entanto. $u$ $v$

Vamos supor que temos um algoritmo de aproximação que nos dará um corte dentro de um fator de 2 de OPT, desde que a soma de todos os pesos das arestas seja positiva.

Como acima, comece com um gráfico com todos os pesos não negativos nas arestas. Encontraremos um gráfico modificado com alguns pesos negativos, de modo que, se pudermos aproximar o corte máximo de dentro de um fator de 2, podemos aproximar muito bem o corte máximo de .. $G$ $G^*$ $G^*$ $G$

Escolha dois vértices e , e espero que eles estão em lados opostos do corte máx. (Você pode repetir isso para todo o possível para garantir que uma tentativa funcione.) Agora, coloque um grande peso negativo em todas as arestas e para um grande peso positivo na borda . Assume-se que a óptima corte tem peso . $u$ $v$ $v$ $-d$ $(u,x)$ $(v,x)$ $x \neq u,v$ $a$ $(u,v)$ $OPT$

Um corte com valor em , onde os vértices e estão do mesmo lado do corte, agora tem valor em que é o número de vértices do outro lado do corte. Um corte com em lados opostos com o valor original agora tem o valor . Assim, se escolhermos grande o suficiente, poderemos forçar todos os cortes com e $c$ $G$ $u$ $v$ $c - 2dm$ $m$ $(u,v)$ $c$ $c + a - (n-2)d$ $d$ $u$ $v$ no mesmo lado para ter valor negativo, por isso, se existe qualquer corte com valor positivo, em seguida, o corte óptima em terá e em lados opostos. Observe que estamos adicionando um peso fixo a qualquer corte com e em lados opostos. $G^*$ $u$ $v$ $(a - (n-2)d)$ $u$ $v$

Seja . Escolha para que (justificaremos isso mais tarde). Um corte com peso em possuindo e em lados opostos torna-se agora um corte com peso . Isso significa que o corte ideal em tem peso $f=(a - (n-2)d)$ $a$ $f \approx - 0.98 OPT$ $c$ $G$ $u$ $v$ $c - 0.98 OPT$ $G^*$ $0.02 OPT$ . O nosso novo algoritmo encontra um corte em com o peso, pelo menos, . Isso se traduz em um corte no gráfico original com peso de pelo menos (uma vez que todos os cortes em com peso positivo separam e ), o que é melhor que o resultado da inadequação. $G^*$ $0.01 OPT$ $G$ $0.99OPT$ $G^*$ $u$ $v$

Não há problema em escolher grande o suficiente para fazer qualquer corte com e do mesmo lado negativo, pois podemos escolher tão grande quanto queremos. Mas como escolhemos modo que quando não conhecíamos ? Podemos aproximar muito bem ... se deixarmos ser a soma dos pesos das arestas em , sabemos $d$ $u$ $v$ $d$ $a$ $f \approx -.99OPT$ $OPT$ $OPT$ $T$ $G$ . Portanto, temos uma gama bastante estreita de valores de, e podemos iterartomar todos os valores entreeem intervalos de. Para um desses intervalos, garantimos quee, portanto, uma dessas iterações deve retornar um bom corte. $\frac{1}{2}T \leq OPT \leq T$ $f$ $f$ $-.49T$ $-.99T$ $0.005T$ $f \approx -0.98 OPT$

Finalmente, precisamos verificar se o novo gráfico possui pesos de borda cuja soma é positiva. Começamos com um gráfico cujos pesos das arestas tinham soma e adicionamos à soma dos pesos das arestas. Desde , estamos bem $T$ $f$ $-.99T \leq f \leq -.49T$

— Peter Shor
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Mas quais são seus

? A formulação usual do problema de corte máximo não possui nenhum "nó especial" que precise ser separado. u $u$

v $v$

— Jukka Suomela 19/10/10

Oi Ian - Eu não acho que isso funcione. Por que necessariamente tem que existir

que são separados pelo corte máximo no gráfico original e permanecem separados pelo corte máximo após a adição de uma aresta negativa pesada entre eles? Considere, por exemplo, o gráfico completo - adicionar uma única aresta arbitrariamente negativa em qualquer lugar não altera o valor do corte. u $u$

v $v$

— Aaron Roth

Uma questão é que, se você adicionar uma aresta negativa entre cada par de vértices, estará modificando o valor de diferentes cortes em diferentes quantidades. (Subtraímos, digamos,

do valor do corte

). Portanto, temos o problema de que a identidade do corte máximo no gráfico modificado não corresponde necessariamente ao corte máximo no gráfico original. |S|⋅|S¯|⋅a $|S|\cdot|\bar{S}|\cdot a$

S $S$

— Aaron Roth

@ Pedro: No parágrafo após o citei você escolhe

suficientemente pequeno para fazer

. Você não pode escolher com segurança

ser suficientemente grande em um parágrafo e suficientemente pequena na próxima! Em particular, não há como escolher

para garantir que

para todos os

e simultaneamente tenham

a $a$

f≈−0.98OPT $f \approx -0.98 OPT$

a $a$

d $d$

c+a−(n−2)d>c−dm $c+a-(n-2)d>c-dm$

0≤m≤n $0\le m \le n$

. Isto acontece porque

para todos

implica que

. a−(n−2)d=f≈−0.98⋅OPT $a-(n-2)d = f\approx -0.98 \cdot OPT$

c+a−(n−2)d>c−dm $c+a-(n-2)d>c-dm$

0≤m≤n $0\le m \le n$

f=a−(n−2)d>0 $f=a-(n-2)d > 0$

— Warren Schudy

@ Warren, você escolhe

grande o suficiente para que

para todos os cortes. Isso pode ser feito escolhendo

suficientemente grande. Você , em seguida, escolher

do tamanho certo para que o melhor corte é apenas um pouco acima

. Leia os dois últimos parágrafos da minha resposta. d $d$

c−dm<0 $c-dm<0$

d $d$

a $a$

0 $0$

— quer

No artigo " Approximate Max Cut " de S. Har-Peled, a última linha do artigo mencionou que a versão ponderada real do max-cut foi discutida em

Aproximando a norma de corte através da desigualdade de grothendieck , Noga Alon e Assaf Naor, SIAM Journal on Computing, 2006.

Na verdade, é um algoritmo SDP, e parece-me que a taxa de aproximação é de 0,56, embora não tenha certeza se a redução discutida no artigo está preservando a taxa. Talvez uma análise mais profunda do artigo ajude!

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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o problema em Alon-Naor é semelhante, mas não acho que exista uma razão que preserve a redução. o seu problema é maximizar

em que

é um

matriz. para um máximo de corte e seus parentes próximos é crucial que

xTMy $x^TMy$

x,y∈{±1}n $x, y \in \{\pm 1\}^n$

M $M$

n×n $n \times n$

x=y $x = y$

— Sasho Nikolov

@ SashoNikolov: para a norma de corte é irrelevante, até fatores constantes, independentemente de exigirmos

ou não. x=y $x=y$

— david

@ David Eu conheço essa redução, mas a afirmação realmente verdadeira é que

onde todos os valores máximos são mais de

, e

é simétrica com diagonal não negativo. No entanto, o problema

maxx|xTMx|≤maxx,yxTMy≤4maxx|xTMx| $\max_x |x^TMx| \leq \max_{x, y}{x^TMy} \leq 4 \max_x |x^TMx|$

{−1,1}n $\{-1, 1\}^n$

M $M$

maxx|xTMx| $\max_x |x^TMx|$ can have very different value from

maxxxTMx $\max_x x^TMx$ (which is what we need for MaxCut). For example, consider

M=I−J $M = I-J$ , where

J $J$ is the

n×n $n\times n$ all ones matrix. You can see

maxxxTMx $\max_{x}{x^TMx}$ is about

n/2 $n/2$ , while

maxx|xTMx| $\max_{x}{|x^TMx|}$ is

$n^2 - n$ .

— Sasho Nikolov

Your problem has a logarithmic approximation by reduction to a quadratic programming problem.

The MaxQP problem is the problem of approximating the quadratic form $x^TMx$ for a $n \times n$ matrix $M$ , where $x$ ranges over $\{\pm 1\}^n$ . MaxCut can be written in this form by setting $M = \frac{1}{2n}(\sum{w_e})I - \frac{1}{2}A$ where $I$ is the identity matrix and $A$ is the adjacency matrix. The MaxQP algorithm of Charikar and Wirth gives an $O(\log n)$ approximation for MaxQP as long as $M$ has a non-negative diagonal. So as long as $\sum{w_e} \geq 0$ , MaxCut with negative weights has a logarithmic approximation.

— Sasho Nikolov
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