Por que os gráficos Ramanujan são nomeados após Ramanujan?


Respostas:


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Para adicionar algum conteúdo às respostas aqui, explicarei brevemente qual é a conjectura de Ramanujan.

Antes de tudo, a conjectura de Ramanujan é na verdade um teorema, provado por Eichler e Igusa. Aqui está uma maneira de declarar isso. Seja rm(n) o número de soluções integrais para a equação quadrática x12+m2x22+m2x32+m2x42=n . Se m=1 , que rm(n)>0Evidentemente, foi comprovado por Legendre, mas Jacobi deu a contagem exata: r1(n)=8dn,4dd . Nada semelhante exacta é conhecido para maior m mas Ramanujan conjecturado o ligado: rm(n)=cmdnd+O(n1/2+ϵ) para cada ϵ>0 , em que é uma constante dependente apenas de m . cmm

Lubtozky, Phillips e Sarnak construíram seus expansores com base nesse resultado. Não estou familiarizado com os detalhes de suas análises, mas acredito que a idéia básica é construir um gráfico de Cayley de para um número primo q que 1 mod 4 , usando geradores determinados por cada soma decomposição de quatro quadrados de p , onde p é um resíduo quadrático módulo q . Então, eles relacionam os autovalores deste gráfico de Cayley a r 2 q ( p k ) para potências inteiras kPSL(2,Zq)q1mod4ppqr2q(pk)k.

Uma referência, além do próprio artigo de Lubotzky-Phillips-Sarnak, é a breve descrição de Noga Alon em Tools from Higher Algebra .


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legais ! Ótima resposta.
Suresh Venkat

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A Wikipedia fornece essa resposta rapidamente. Citação

Construções de gráficos de Ramanujan são frequentemente algébricas. Lubotzky, Phillips e Sarnak mostram como construir uma família infinita de gráficos Ramanujan regulares , sempre que p = 1p+1 é primo. Sua prova usa aconjectura de Ramanujan, que levou ao nome dos gráficos de Ramanujan.p=1mod4

O artigo referido são os gráficos Ramanujan A. Lubotzky, R. Phillips e P. Sarnak, COMBINATORICA Volume 8, Número 3 (1988), 261-277, DOI: 10.1007 / BF02126799.


a pergunta é: qual é a conjectura ramanujan
Suresh Venkat

Às vezes, é muito melhor preservar os links quando você cita.
Tsuyoshi Ito

De fato. Eu subestimei a seriedade da pergunta.
Dave Clarke
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