Recentemente, ensinei expansores e introduzi a noção de gráficos Ramanujan. Michael Forbes perguntou por que eles são chamados assim, e eu tive que admitir que não sei. Alguém?
Recentemente, ensinei expansores e introduzi a noção de gráficos Ramanujan. Michael Forbes perguntou por que eles são chamados assim, e eu tive que admitir que não sei. Alguém?
Respostas:
Para adicionar algum conteúdo às respostas aqui, explicarei brevemente qual é a conjectura de Ramanujan.
Antes de tudo, a conjectura de Ramanujan é na verdade um teorema, provado por Eichler e Igusa. Aqui está uma maneira de declarar isso. Seja o número de soluções integrais para a equação quadrática . Se , que Evidentemente, foi comprovado por Legendre, mas Jacobi deu a contagem exata: . Nada semelhante exacta é conhecido para maior mas Ramanujan conjecturado o ligado: para cada , em que é uma constante dependente apenas de m .
Lubtozky, Phillips e Sarnak construíram seus expansores com base nesse resultado. Não estou familiarizado com os detalhes de suas análises, mas acredito que a idéia básica é construir um gráfico de Cayley de para um número primo q que 1 mod 4 , usando geradores determinados por cada soma decomposição de quatro quadrados de p , onde p é um resíduo quadrático módulo q . Então, eles relacionam os autovalores deste gráfico de Cayley a r 2 q ( p k ) para potências inteiras k.
Uma referência, além do próprio artigo de Lubotzky-Phillips-Sarnak, é a breve descrição de Noga Alon em Tools from Higher Algebra .
A Wikipedia fornece essa resposta rapidamente. Citação
Construções de gráficos de Ramanujan são frequentemente algébricas. Lubotzky, Phillips e Sarnak mostram como construir uma família infinita de gráficos Ramanujan regulares , sempre que p = 1 é primo. Sua prova usa aconjectura de Ramanujan, que levou ao nome dos gráficos de Ramanujan.
O artigo referido são os gráficos Ramanujan A. Lubotzky, R. Phillips e P. Sarnak, COMBINATORICA Volume 8, Número 3 (1988), 261-277, DOI: 10.1007 / BF02126799.