Existem limites gerais eficientes no estilo Bonferroni conhecidos?

Um problema clássico na teoria da probabilidade é expressar a probabilidade de um evento em termos de eventos mais específicos. No caso mais simples, pode-se dizer $P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$ . Vamos escrever $AB$ para o evento $A \cap B$ .

$P[\cup A_i]$ $A_i$

P [\cup {UMA}_{Eu}] \leq \sum P [{UMA}_{Eu}]

$P[\cup A_i] \le \sum P[A_i]$

P [\cup {UMA}_{Eu}] \leq \sum_{Eu} P [{UMA}_{Eu}] - max_{j} \sum_{Eu \neq j} P [{UMA}_{Eu} {UMA}_{j}] .

$P[\cup A_i] \le \sum_i P[A_i] - \max_j \sum_{i \ne j} P[A_i A_j].$

A estrutura de dependência dos eventos pode ser vista como um hipergrafo ponderado com vértices , com o peso de uma aresta representando a probabilidade do evento associado à interseção dos vértices na aresta. $A_i$

Um argumento de estilo de inclusão-exclusão considera subconjuntos cada vez maiores de eventos. Estes produzem os limites de Bonferroni . Esses limites usam todos os pesos para arestas de até um tamanho . $k$

Se a estrutura de dependência é "suficientemente agradável", o Lema Local de Lovász pode ser usado para limitar a probabilidade dos valores extremos 0 e 1. Em contraste com a abordagem de Bonferroni, a LLL usa informações bastante grosseiras sobre a estrutura de dependência.

Agora, suponha que relativamente poucos pesos na estrutura de dependência sejam diferentes de zero. Além disso, suponha que existem muitos eventos que são independentes por pares e ainda não são independentes (e, de maneira mais geral, é bem possível que um conjunto de eventos não seja mutuamente independente, mas seja -wise independente para cada ). $k$ $r$ $r < k$

É possível usar explicitamente a estrutura de dependência de eventos para melhorar os limites de Bonferroni / Kounias, de uma maneira que possa ser calculada com eficiência?

Espero que a resposta seja sim, e gostaria de sugestões de referências. Estou ciente do artigo de Hunter de 1976, mas ele lida apenas com dependências aos pares. Hunter considera estender árvores no gráfico formado ignorando as arestas na estrutura de dependência de tamanho 3 ou superior.

David Hunter, limite superior para a probabilidade de uma união , Journal of Applied Probability 13 597–603. http://www.jstor.org/stable/3212481

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— András Salamon
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Acho que você encontrará a resposta no artigo "Inclusão-exclusão aproximada" de Linial e Nisan: http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/approx_incl_excl.pdf

— Aryeh
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Isso parece altamente relevante (o link oficial é link.springer.com/article/10.1007/BF02128670 ); também há um link.springer.com/article/10.1007/BF01271266 de Jeff Kahn, Nathan Linial e Alex Samorodnitsky.

— András Salamon