A pergunta é um tanto aberta, então não acho que possa ser respondida completamente. Esta é uma resposta parcial.
Uma observação fácil é que muitos problemas não são interessantes quando consideramos a aproximação aditiva. Por exemplo, tradicionalmente a função objetivo do problema Max-3SAT é o número de cláusulas satisfeitas. Nesta formulação, aproximar o Max-3SAT dentro de um erro aditivo O (1) é equivalente a resolver o Max-3SAT exatamente, simplesmente porque a função objetivo pode ser escalada copiando a fórmula de entrada várias vezes. A aproximação multiplicativa é muito mais essencial para os problemas desse tipo.
[Editar: Na revisão anterior, eu usei o Independent Set como exemplo no parágrafo anterior, mas mudei para Max-3SAT porque o Independent Set não é um bom exemplo para ilustrar a diferença entre aproximação multiplicativa e aproximação aditiva; Aproximando um conjunto independente, mesmo dentro de um fator multiplicativo O (1), também é NP-hard. De fato, Håstad [Has99].]
Mas, como você disse, a aproximação aditiva é interessante para problemas como empacotamento de lixeiras, onde não podemos dimensionar a função objetivo. Além disso, muitas vezes podemos reformular um problema para que a aproximação aditiva se torne interessante.
Por exemplo, se a função objetivo do Max-3SAT for redefinida como a razão entre o número de cláusulas satisfeitas e o número total de cláusulas (como às vezes é feito), a aproximação aditiva se tornará interessante. Nesse cenário, a aproximação aditiva não é mais difícil do que a aproximação multiplicativa, no sentido de que a aproximação dentro de um fator multiplicativo 1− ε (0 < ε <1) implica aproximação dentro de um erro aditivo ε , porque o valor ideal é sempre no máximo 1.
Um fato interessante (que infelizmente parece muitas vezes esquecido) é que muitos resultados de inadequação provam a completude de NP de certo decorre problemas de lacunaque não decorre da mera dureza NP da aproximação multiplicativa (ver também Petrank [Pet94] e Goldreich [Gol05, Seção 3]). Continuando o exemplo do Max-3SAT, é um resultado bem conhecido de Håstad [Has01] que é NP-difícil aproximar o Max-3SAT dentro de um fator multiplicativo constante melhor que 7/8. Esse resultado por si só não parece implicar que seja NP-difícil aproximar a versão de proporção do Max-3SAT dentro de um erro aditivo constante além de algum limite. No entanto, o que Håstad [Has01] prova é mais forte do que a mera falta de aproximação multiplicativa: ele prova que o seguinte problema de promessa é NP-completo para cada constante 7/8 < s <1:
Gap-3SAT s
Instância : fórmula φ Um CNF onde cada cláusula envolve exactamente três variáveis distintas.
Sim, prometo : φ é satisfatório.
Sem promessa : nenhuma atribuição de verdade satisfaz mais que a fração s das cláusulas de φ.
A partir disso, podemos concluir que é NP-difícil aproximar a versão de proporção do Max-3SAT dentro de um erro aditivo melhor que 1/8. Por outro lado, a atribuição aleatória simples e usual fornece aproximação dentro de um erro aditivo 1/8. Portanto, o resultado de Håstad [Has01] não apenas fornece a inadequação multiplicativa ideal para esse problema, mas também a inadequação aditiva ideal. Eu acho que existem muitos resultados adicionais de inadequação como esse que não aparecem explicitamente na literatura.
Referências
[Gol05] Oded Goldreich. Em problemas de promessa (uma pesquisa em memória de Shimon Even [1935-2004]). Colóquio Eletrônico sobre Complexidade Computacional , Relatório TR05-018, fevereiro de 2005. http://eccc.hpi-web.de/report/2005/018/
[Has99] Johan Håstad. É difícil aproximar o clique dentro de n 1− ε . Acta Mathematica , 182 (1): 105-142, março de 1999. http://www.springerlink.com/content/m68h3576646ll648/
[Has01] Johan Håstad. Alguns ótimos resultados de inadequação. Journal of the ACM , 48 (4): 798–859, julho de 2001. http://doi.acm.org/10.1145/502090.502098
[Pet94] Erez Petrank. A dureza da aproximação: localização da lacuna. Complexidade computacional , 4 (2): 133-157, abril de 1994. http://dx.doi.org/10.1007/BF01202286