Localizando rapidamente não-terminais de produção de cadeia vazia em um CFG

Para uma dada linguagem livre de contexto G, chamamos um não-terminal anulável se , ou seja, podemos derivar a string vazia de depois de aplicar um número finito de produções. $A_i$ $A_i \rightarrow^* \epsilon$ $A_i$

Existe um algoritmo simples para determinar quais não-terminais de uma gramática são anuláveis, como pode ser encontrado aqui :

Começamos considerando todos os não-terminais como não anuláveis. todos os como anuláveis se houver uma produção . Em seguida, passamos por todas as outras produções excluindo produções com um terminal nelas e marcamos como nulo se todos os forem nulos. Continuamos fazendo esse loop até terminar um loop sem marcar nenhum termo-terminal como nulo. $A_i$ $A_i \rightarrow \epsilon$ $A_i \rightarrow B_1 B_2 \dots B_k$ $A_i$ $B_i$

Meu problema com esse algoritmo é que ele tem um tempo de execução : o pior caso é, por exemplo, , , , ..., , . $O(n^2)$ $A_1 \rightarrow A_2$ $A_2 \rightarrow A_3$ $A_3 \rightarrow A_4$ $A_{n-1} \rightarrow A_n$ $A_n \rightarrow \epsilon$

Existe um algoritmo para esse problema com um tempo de execução melhor que ? $O(n^2)$

ds.algorithms fl.formal-languages time-complexity

— Alex ten Brink
fonte

Não é fundamental implementar esse algoritmo em tempo linear? Isso pode ser um problema de lição de casa?

— 22710 Warren Schudy

Você está interessado em uma determinada classe de gramáticas ou deseja lidar com gramáticas arbitrárias?

— Raphael

Estou interessado em abordar gramáticas arbitrárias: estou implementando um analisador Earley, para o qual é útil saber se um não-terminal pode derivar a sequência vazia. Minha reação inicial foi que isso deveria ser trivialmente solucionável em tempo linear, mas gramáticas como

complicam as coisas.

A \to B

$A \rightarrow B$

B \to A

$B \rightarrow A$

— Alex10 Brink #

Você tem um motivo para manter essas regras em qualquer situação prática?

— Raphael

Estou implementando um analisador Earley da maneira descrita aqui: webhome.cs.uvic.ca/~nigelh/Publications/… . Na abordagem adotada nesse artigo, em algum momento é necessário encontrar os não terminais para nulidade de uma gramática: uma vez conhecidos, é muito fácil adaptar o algoritmo de Earley para lidar com as produções epsilon.

— Alex10 Brink #

Não se pode implementar esse algoritmo em tempo linear da seguinte maneira? (Aviso: eu não li isso com muito cuidado, é provável que haja erros.)

No que se segue, sempre que digo "produção", quero incluir apenas aqueles que não incluem terminais. Construir uma lista, para cada não-terminal, das produções em que aparece. Para cada produção deixar contar quantos não-terminais distintos no lado direito estão atualmente marcados não anulável. Deixe denotar uma fila de não terminais que foram marcados como nulos, mas ainda não processados. Inicialize todos para o número de não terminais distintos no lado direito da produção . Inicialize todos os não terminais para não anuláveis. Para cada não terminal gerado pela produção com $i$ $c_i$ $Q$ $c_i$ $i$ $Z$ $i$ adicione a e marque como nulo. $c_i=0$ $Z$ $Q$ $Z$

Enquanto não estiver vazio, remova um não terminal arbitrário de e processe-o da seguinte maneira. Para cada produção $Q$ $X$ $Q$ $j$ que está, diminua . Se um torna-se zero, verificar para ver se o correspondente não terminal tenha sido marcado nulo já. Se não, marcar anulável e adicionar para . $X$ $c_j$ $c_j$ $Y$ $Y$ $Y$ $Q$

— Warren Schudy
fonte

A menos que esteja faltando alguma coisa, acho que seu algoritmo deve funcionar. Eu acho muito estranho que, se eu procurar na Internet um algoritmo para esse problema, recebo mais de meia dúzia de hits na primeira página, descrevendo algumas variações do algoritmo que descrevi no meu primeiro post - por que dar um algoritmo n-quadrado se existe um algoritmo linear simples?

— Alex10 Brink

Uma razão provável para fornecer o algoritmo quadrático é que ele é ainda mais simples. Se você deseja apenas dar às pessoas uma compreensão da nulidade, ocultar os detalhes da implementação faz sentido.

— Warren Schudy