A região viável deste SDP é poliédrica?

Temos um programa semidefinido (SDP) cuja região viável contém apenas um número finito de matrizes de classificação . Podemos concluir que a região viável desse SDP é poliédrica? $1$

Acreditamos que isso seja verdade, uma vez que a porção 'circular' do cone de matrizes semidefinidas se deve às matrizes extremas de classificação . Qualquer limite "curvo" da região viável deve ocorrer a partir de um número infinito de raios extremos. $1$

Como conseqüência, podemos afirmar que esse SDP pode ser resolvido exatamente no tempo polinomial, assim como programas lineares que também possuem uma região viável poliédrica?

convex-optimization semidefinite-programming polytope

— Pawan Aurora
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Não, mesmo que exista um número finito de matrizes viáveis de classificação 1, a região viável de um SDP não precisa ser poliédrica.

$S_n = \{X: X \succeq 0, X_{11} = \ldots = X_{nn} = 1\}$ $n$ $2^n$ $S_n$ $xx^T \in S_n$ $x_i^2 = 1$ $i$ $x \in \{-1, 1\}^n$

$S_3$

X = (\begin{array}{ccc} 1 & x & y \\ x & 1 & z \\ y & z & 1 \end{array})

$X = \left( \begin{array}{ccc} 1 & x & y\\ x & 1 & z\\ y & z & 1 \end{array} \right)$

$X \succeq 0$

\begin{aligned} x^{2}, y^{2}, z^{2} & \leq 1 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} & \leq 1 + 2 x y z \end{aligned}

$\begin{align} x^2, y^2, z^2 &\leq 1\\ x^2 + y^2 + z^2 &\leq 1 + 2xyz \end{align}$

X

$X$

$T$ $S_3$ $x, y, z$ $U = T \cap \{(x, y, z): z = 0\}$ $S_3$ $U$ $U = \{(x, y, 0): x^2 + y^2 \leq 1\}$

$U$ $X$ $u, v, w$ $z = 0$ $v \perp w$ $(x, y)$ $u$ $v$ $w$ $v$ $w$ $u$ $(x,y)$ $1$

$T$ insira a descrição da imagem aqui

$U$

insira a descrição da imagem aqui

— Sasho Nikolov
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Devo dizer que nunca tentei visualizar esse espectroedro antes e acho interessante que ele simplesmente se pareça com uma versão levemente inflada do tetraedro formada pelos pontos legais de classificação 1. A seção que é mostrada aqui como um círculo é um quadrado no tetraedro.

— Sasho Nikolov

Apenas curioso sobre a segunda parte da minha pergunta. Digamos que exista um SDP com região viável poliédrica. O que você acha da exata solvabilidade do tempo polinomial? Btw obrigado pela boa explicação.

— Pawan Aurora

Pawan, a priori, não está claro para mim que, se um SDP for poliédrico, ele terá vértices racionais, e isso parece necessário para a exata resolubilidade. Mas estou tendo problemas para imaginar um exemplo. Talvez em todos os exemplos poliédricos as restrições do PSD não importem.

— Sasho Nikolov

X

$X$

z = 0

$z = 0$

x = y

$x = y$

x

$x$

[- 1 / \sqrt{2}, 1 / \sqrt{2}]

$[-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}]$

Btw não é o critério de Sylvester para definição positiva? Eu pensei que, para pSd, você precisava verificar todos os principais menores de idade para obter um iff.

— precisa