Quais modelos de autômatos notáveis ​​têm contenção polinomialmente decidível?

Estou tentando resolver um problema específico e pensei que poderia resolvê-lo usando a teoria dos autômatos. Gostaria de saber, que modelos de autômatos têm contenção decidível em tempo polinomial? ou seja, se você tiver máquinas poderá testar se L ( M 1 ) ⊆ L ( M 2 ) com eficiência.$M_1, M_2$$L(M_1) \subseteq L(M_2)$

Os óbvios que vêm à mente são os DFAs e os contadores com limite de inversão, onde o número de contadores é fixo (consulte este documento ).

Que outras classes notáveis ​​podem ser adicionadas a esta lista?

Quanto mais poderosos os autômatos, melhor. Por exemplo, os DFAs não são suficientes para resolver o meu problema, e os contadores não podem fazê-lo com um número fixo de contadores. (Naturalmente, se você for muito poderoso, a contenção é intratável, como para os NFA, ou indecidível, para os CFGs).

Os autômatos de empilhamento visivelmente (ou autômatos de palavras aninhados , se você preferir trabalhar com palavras aninhadas em vez de palavras finitas) ampliam o poder expressivo dos autômatos finitos determinísticos: a classe de idiomas regulares está estritamente contida na classe de idiomas de empurre visivelmente. Para autômatos determinísticos de empilhamento visivelmente, o problema de inclusão de idioma pode ser resolvido em tempo polinomial. Para mais detalhes, consulte o artigo de Alur e Madhusudan, especialmente o Capítulo 6.

A propósito, a variante não determinística dos autômatos visivelmente pushdown é exponencialmente mais sucinta que a variante determinística, mas o problema de inclusão de linguagem é EXPTIME-complete e, portanto, intratável.

Alur, R .; Madhusudan, P. (2009). " Adicionando estrutura de aninhamento às palavras ". Journal of the ACM 56 (3): 1–43.

Se houver infinitas palavras no seu escopo, você poderá generalizar o DFA (com condição de paridade) para os chamados autômatos de bons jogos (GFG), que ainda possuem contenção polinomial.

$\sigma:A^*\times Q\times A\to \Delta$$\sigma$$w$$\sigma$$w$

A contenção para esses autômatos está em P para qualquer condição de paridade fixa (reduzindo para jogos de paridade) e em Quasi-P se o índice de paridade fizer parte da entrada. Eles podem ser exponencialmente menores que qualquer DFA equivalente [3].

No entanto, em palavras finitas, eles são apenas DFAs com possíveis transições adicionais inúteis, para que não tragam nada de novo.

Aqui estão algumas referências:

[1] Resolvendo jogos sem determinação , Henzinger, Piterman, na CSL 2006

[2] Não determinismo na presença de um futuro diverso ou desconhecido , Boker, Kuperberg, Kupferman, Skrzypczak, na ICALP 2013.

[3] Sobre a determinação de autômatos para jogos bons , Kuperberg, Skrzypczak, na ICALP 2015

Um autômato XOR não determinístico (NXA) se encaixa na sua pergunta.

$M$$w\in \Sigma^*$$L(M)$

Os NXAs são usados ​​para criar pequenas representações de linguagens regulares, bem como alguns algoritmos parametrizados.

$O(|Q|^3$$L(M_1)\subseteq L(M_2)$

$M_1$$M_2$$L(M_2)$$L(M_1)$

$M_2$

Deixe-me esboçar uma prova desse resultado.

$M_1$$M_2$$M_2$$L(M_1)\subseteq L(M_2)$

Prova.
Etapa 1: isso reduz à universalidade de autômatos inequívocos.

$M_1$$M_1$

$L(M_1)\subseteq L(M_2)$$L(M_2)\cup L(M_1)^c$

Etapa 2: acontece que autômatos inequívocos podem ser vistos como autômatos NXA (autômatos XOR não determinísticos no post anterior da RB) sem que a avaliação seja alterada (de fato, uma disjunção em todas as execuções de acusação é equivalente a um xor acima de tudo é executado, pois existe no máximo uma dessas). Para esses autômatos, a universalidade é conhecida por ser polinomial (QED).

$Z/2Z$

[SH85] Richard E. Stearns e Harry B. Hunt III. Nos problemas de equivalência e contenção para expressões regulares inequívocas, gramáticas regulares e autômatos finitos. SIAM J. Comput., 14 (3): 598–611, 1985.

[S61] Schützenberger, MP: Sobre a definição de uma família de autômatos. Informação e controle 4, 245-270 (1961)

Gramáticas regulares LL (k) (isto é, gramáticas que são LL (k) e regulares ) podem ser convertidas em tempo polinomial em autômatos finitos determinísticos equivalentes e, assim, a contenção e equivalência de idiomas podem ser resolvidas no PTIME. Veja o Teorema 4.2 no documento a seguir (e os resultados posteriormente para uma aplicação desta observação aos esquemas de programas).

Harry B. Hunt III: Observações sobre a complexidade dos problemas de expressão regular , Journal of Computer and System Sciences 19, 222-236 (1979)