O problema do conjunto dominante está restrito a gráficos bipartidos planares de grau máximo 3 NP-completo?

Alguém sabe sobre um resultado de completude de NP para o problema DOMINATING SET em gráficos, restrito à classe de gráficos bipartidos planares de grau máximo 3?

Eu sei que é NP-completo para a classe de gráficos planares de grau máximo 3 (veja o livro de Garey e Johnson), bem como para gráficos bipartidos de grau máximo 3 (veja M. Chlebík e J. Chlebíková, "Dureza aproximada de problemas dominantes em gráficos de graus limitados "), mas não conseguiu encontrar a combinação dos dois na literatura.

E se você simplesmente fizer o seguinte: Dado um gráfico , construa outro gráfico subdividindo cada aresta de em 4 partes; aqui é o conjunto de novos nós que introduzimos e.G ′ = ( V ∪ U , E ′ ) $G = (V,E)$$G' = (V \cup U, E')$$G$| U | = 3 | E $U$$|U| = 3|E|$

O gráfico é bipartido. Além disso, se é plano e tem max. grau 3, então também é plano e tem max. grau 3. G G $G'$$G$$G'$

Seja um conjunto dominante (mínimo) para . Considere uma aresta subdividida para formar um caminho em . Agora claramente pelo menos um de está em . Além disso, se tivermos mais de um de em , podemos modificar para que permaneça um conjunto dominante válido e seu tamanho não aumente. Por exemplo, se tivermos e , podemos igualmente remover de e adicionar aG ′ ( x , y ) ∈ E ( x , a , b , c , y ) G ′ a , b , c D ′ a , b , c D ′ D ′ a ∈ D ′ c ∈ D ′ c D ' y D ' | D ′ ∩ U | $D'$$G'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c$$D'$$a,b,c$$D'$$D'$$a \in D'$$c \in D'$$c$$D'$$y$$D'$. Portanto, wlog, temos.$|D' \cap U| = |E|$

Em seguida, considere . Suponha que e . Então devemos ter um nó tal que . Portanto, existe uma aresta tal que temos um caminho em . Como e , temos e, para dominar , devemos ter . Daí em nó é um vizinho de com . Ou seja,x ∈ V x ∉ D ′ a ∈ D ′ ( x , a ) ∈ E ′ ( x , y ) ∈ E ( x , a , b , c , y ) G ′ a , b , c ∈ U a ∈ D ′ b , c ∉ $D = D' \cap V$$x \in V$$x \notin D'$$a \in D'$$(x,a) \in E'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c \in U$$a \in D'$ C y ∈ D ' G y x y ∈ D D $b, c \notin D'$$c$$y \in D'$$G$$y$$x$$y \in D$$D$é um conjunto dominando por .$G$

Por outro lado, considere um (mínimo) dominando conjunto para . Construa um conjunto dominante para para queda seguinte maneira: Para uma aresta subdividida para formar um caminho em , adicionamos a se e ; adicionamos a se e ; e, caso contrário, adicionamos a . Agora pode-se verificar queG D ′ G ′ | D ' | = | D | + | E | ( x , y ) ∈ E ( x , a , b , c , y ) G ′ a D ′ x ∉ D y ∈ D c D ′ x ∈ D y ∉ D b D ′ D $D$$G$$D'$$G'$$|D'| = |D| + |E|$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a$$D'$$x \notin D$$y \in D$$c$$D'$$x \in D$$y \notin D$$b$$D'$$D'$é um conjunto dominante para : por construção, todos os nós em são dominados. Agora deixe . Então existe um tal que e, portanto, ao longo do caminho temos , que domina . U x ∈ V ∖ D ′ y ∈ V ( x , y ) ∈ E ( x , a , b , c , y ) a ∈ D ′$G'$$U$$x \in V \setminus D'$$y \in V$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$a \in D'$$x$

Em resumo, se tem um conjunto dominante de tamanho , então tem um conjunto dominante de tamanho no máximoe se tiver um conjunto dominante de tamanho, então tem um conjunto de tamanho dominante no máximo .k G ′ k + | E | G ′ k + | E | G $G$$k$$G'$$k + |E|$$G'$$k + |E|$$G$$k$

Edit: Adicionada uma ilustração. Superior: o gráfico original ; meio: gráfico com um conjunto dominante "normalizado"; embaixo: gráfico com um conjunto dominante arbitrário.G ′ G $G$$G'$$G'$