Confusão sobre a redução da contagem de capas de vértices para capas de ciclos de contagem

Isso me confunde.

Um caso fácil de contagem é quando o problema de decisão está em e não há soluções. $P$

Uma palestra mostra que o problema de contar o número de combinações perfeitas em um gráfico bipartido (equivalente a contar o número de capas de ciclo em um gráfico direcionado) é completo. $\#P$

Eles reduzem a contagem de capas de vértices do tamanho para capas de ciclos de contagem em um dígrafo usando gadgets. $k$

Teorema 27.1 O número de coberturas boas de ciclo em é vezes o número de coberturas de vértices de do tamanho . $H$ $(k!)^2$ $G$ $k$

Usando o gadget, eles deixam apenas os ciclos "bons".

Meu entendimento da palestra é que não tem cobertura de vértice de tamanho se o dígrafo transformado não tiver cobertura de ciclo. Verificar se tem cobertura de ciclo pode ser feito em tempo polinomial, implicando pois podemos transformar o problema de decisão em encontrar solução. $G$ $k$ $G'$ $G'$ $P=NP$

O que estou entendendo mal?

$\#P$

$P$

$P \ne NP$ $NP$ $(0,1)$ $0 \mapsto 0$

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Adicionado

Markus Bläser assinala que o ciclo ruim ainda está "lá", mas a soma de seus pesos desaparece.

Parece-me que o peso do ciclo ruim em um widget é zero.

Na página 148 (11 do pdf):

A matriz de adjacência completa B com submatrizes A correspondentes a esses widgets de quatro nós conta 1 para cada cobertura de ciclo bom em H e 0 para cada cobertura de ciclo ruim

Outra pergunta:

$k$

No CC, todo vértice deve estar em exatamente um ciclo.

cc.complexity-theory graph-theory

— joro
fonte

Eles não deixaram apenas bons ciclos. Em seu argumento de contagem, eles eliminaram a contagem de ciclos ruins. O problema é que você precisa contar # capas de ciclo bom. Portanto, se você encontrar uma cobertura de ciclo que não é uma boa cobertura de ciclo, não poderá obter uma cobertura de k-vértice. Mas se você encontrar uma boa cobertura de ciclo, sim, o gráfico possui k-VC. Isso não viola nada.

— Saeed

k

$k$

@Saeed Eles não estão contando todas as capas de ciclo no G 'transformado?

— Joro

A redução atribui pesos às arestas. As coberturas ruins do ciclo podem ter peso positivo ou negativo; a contribuição geral é zero. Mas esses ciclos ainda estão "lá" e podem ser encontrados por um algoritmo de detecção de cobertura de ciclo e, nesse caso, você não sabe se existe ou não uma boa cobertura de ciclo.

— Markus Bläser

@ MarkusBläser Obrigado, isso faz sentido :). Por que não responder?

— Joro

Parece que o mal-entendido é este:

Na redução final para (0,1) -permanente, eles estão usando aritmética modular, o que quebra meu argumento.

$A$ $B$

$n$ $perm(A)=0$ $perm(B)=mn$

$n$ $B$

Não encontramos a falha na pergunta sobre a cobertura máxima do ciclo ponderado, que não parece ser afetada pelo que foi dito acima.

— joro
fonte