Existência de caminhos induzidos longos em gráficos expansores

Digamos que uma família de gráficos tenha caminhos induzidos por muito tempo se houver uma constante modo que todo gráfico em contenha um caminho induzido em vértices. Estou interessado em propriedades de famílias de grafos que garantam a existência de longos caminhos induzidos. Em particular, estou me perguntando se os expansores de grau constante têm caminhos induzidos há muito tempo. Aqui está o que eu sei.$\mathcal{F}$G F | V ( L ) | $\epsilon > 0$$G$$\mathcal{F}$$|V(G)|^{\epsilon}$

• Gráficos aleatórios com grau médio constante (no modelo Erdős – Rényi) têm caminhos induzidos longos (mesmo de tamanho linear) com alta probabilidade; veja, por exemplo, o artigo de Suen .
• Os gráficos de expansores de vizinhos únicos (conforme definidos por Alon e Copalbo ) têm grandes árvores induzidas . De fato, qualquer árvore máxima induzida é grande nesses gráficos.

Diante desses dois fatos, eu esperaria que os expansores em grau de contenção tenham longos caminhos induzidos. No entanto, não consegui encontrar resultados concretos. Quaisquer insights são muito apreciados.

A resposta deve ser positiva se o gráfico em graus limitados tiver a propriedade de ter expansão constante e perímetro . O argumento seria: comece em um vértice e, em seguida, para etapas faça um passeio em que cada passo é escolhido aleatoriamente entre aqueles que não nos levam de volta para onde estávamos antes. (Portanto, se o gráfico é regular, temos opções aleatórias em cada etapa.)$\Omega( \log n)$$n^\epsilon$$d$$d-1$

Agora eu afirmam que, para cada e , se eu olhar para os passos e da caminhada, a probabilidade de que existe uma aresta entre o vértice no passo e o vértice no passo é . Então, se for escolhido suficientemente pequeno, um limite de união mostrará que a caminhada induzirá um caminho com probabilidade . $i$$j$$i$$j$$i$$j$$n^{-\Omega(1)}$$\epsilon$$1-o(1)$

Seé menor que o perímetro, então a probabilidade de uma aresta entre e é apenas zero. Se , a expansão do gráfico deve ser suficiente para argumentar que a existência da aresta ocorre com probabilidade . Isso ocorre porque, para um vértice de início fixo , a distribuição da caminhada após um número de etapas igual à circunferência é uniforme sobre um conjunto de tamanho e, portanto, tem probabilidade de colisãoi j j > i + Ω ( log n ) ( i , j ) n - Ω ( 1 ) v n Ω ( 1 ) n - Ω ( 1 ) n - Ω ( 1 ) O ( 1 ) v n - Ω ( 1) $|i-j|$$i$$j$$j> i+ \Omega(\log n)$$(i,j)$$n^{-\Omega(1)}$$v$$n^{\Omega(1)}$$n^{-\Omega(1)}$; cada passo subseqüente deve apenas diminuir a probabilidade de colisão (isso é verdadeiro para uma caminhada aleatória real, mas também deve ser verdade para essa caminhada sem retorno) e, portanto, a probabilidade de colisão e, portanto, a min-entropia, da distribuição permanece , e a probabilidade de atingir um dos vizinhos de também é .$n^{-\Omega(1)}$$O(1)$$v$$n^{-\Omega(1)}$