Decomposições de gráficos para combinar funções “locais” de rotulagem de vértices

Suponha que queremos encontrar ou

\sum_{x} \prod_{Eu j \in E} f (x_{Eu}, x_{j})

$\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

max_{x} \prod_{Eu j \in E} f (x_{Eu}, x_{j})

$\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

Onde max ou soma é tomada sobre todas as bulas de , o produto é tomado ao longo de todas as bordas para um gráfico e representa uma função arbitrária. É fácil encontrar essa quantidade para gráficos de largura de árvore delimitada e, em geral, NP-difícil para gráficos planares. O número de cores adequadas, o conjunto independente máximo e o número de subgráficos eulerianos são instâncias especiais do problema acima. Estou interessado em esquemas de aproximação de tempo polinomial para problemas desse tipo, especialmente para gráficos planares. Quais decomposições gráficas seriam úteis? $V$ $E$ $G=\{V,E\}$ $f$

Edit 11/1 : Como exemplo, estou me perguntando sobre decomposições que podem ser análogas às expansões de cluster da física estatística (ou seja, expansão de Mayer). Quando representa interações fracas, essas expansões convergem, o que significa que você pode obter uma precisão determinada com termos da expansão, independentemente do tamanho do gráfico. Isso não implicaria a existência de PTAS para a quantidade? $f$ $k$

Atualização 02/11/2011

Expansões de alta temperatura reescrevem a função de partição como uma soma de termos em que termos de ordem superior dependem de interações de ordem superior. Quando as "correlações decaem", os termos de ordem alta decaem com rapidez suficiente para que quase toda a massa de esteja contida em número finito de termos de ordem inferior. $Z$ $Z$

Por exemplo, para o modelo Ising, considere a seguinte expressão de sua função de partição

Z = \sum_{x \in X} \exp J \sum_{Eu j \in E} x_{Eu} x_{j} = c \sum_{UMA \in C} (\tanh J)^{| UMA |}

$Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} x_i x_j = c \sum_{A\in C} (\tanh J)^{|A|}$

Aqui uma constante simples, é um conjunto de subgráficos eulerianos do nosso gráfico, é o número de arestas em subgráfico . $c$ $C$ $|A|$ $A$

$Z$ $k$ $p$ $k$

$f(k)$ $(\tanh J)^k$ $f(k)$ $k$ $Z$

Outro exemplo é a contagem de conjuntos independentes ponderados - é rastreável para qualquer gráfico se o peso for baixo o suficiente, pois é possível fazer com que o problema exiba deterioração da correlação. A quantidade é então aproximada contando conjuntos independentes em regiões de tamanho limitado. Acredito que o resultado STOC'06 de Dror Weitz implica que a contagem independente não ponderada de conjuntos é possível para qualquer gráfico com o grau máximo 4.

Encontrei duas famílias de decomposições "locais" - gráficos de cluster Bethe e gráficos da região de Kikuchi. A decomposição bethe diz-lhe essencialmente para multiplicar contagens em regiões e dividir por contagens em sobreposições de regiões. O método gráfico da região de Kikuchi aprimora isso levando em consideração que as sobreposições de regiões podem se sobrepor, usando o tipo de correção "inclusão-exclusão".

Uma abordagem alternativa é decompor o problema em partes tratáveis globais, como em "Inferência Variacional sobre Espaços Combinatórios". No entanto, as decomposições locais permitem controlar a qualidade da aproximação selecionando o tamanho da região

— Yaroslav Bulatov
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O que quero dizer é muito longo para (mas realmente deveria ser) um comentário.

Se estou lendo a pergunta corretamente, você deseja um FPRAS (esquema de aproximação aleatória totalmente polinomial) para qualquer uma das quantidades acima, cada uma das quais inclui vários problemas de preenchimento # P como casos especiais. Em particular, você deseja um FPRAS geral no caso de gráficos planares, usando a expansão de cluster.

Duvido que isso seja possível devido ao fato de o problema da existência de NP (por exemplo, coloração adequada) implicar que o problema de contagem correspondente (por exemplo, número de cores apropriadas) esteja completo em #P em relação à redutibilidade AP (aproximação- preservação). Ver Dyer, Goldberg, Greenhill e Jerrum, Algorithmica (2004) 38: 471-500.

Mas talvez eu tenha interpretado mal a pergunta.

(Na verdade, você seria capaz de explicar aos não iniciados o significado de expansões a alta temperatura?)

— RJK
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Eu coloquei a resposta na minha pergunta

— Yaroslav Bulatov

@Yaroslav: Obrigado pelo amplo esclarecimento! BTW, por "região" você quer dizer "subconjunto de vértices"? (Isso é o que vejo quando olho para Heske, JAIR 26 (2006), 153-190.) Então, na verdade, parece que você busca FPRASs específicos (ou seja, com opções específicas de f) para classes específicas (como graduação em a maioria dos 4) de gráficos planares usando o que você chama de "decomposição de gráficos" (que é um termo muito sobrecarregado, para ser justo). Isso está correto?

— RJK

Sim, as regiões são subconjuntos de vértices e estou interessado no PTAS para classes de gráficos "tratáveis". BTW, aqui está um exemplo elaborado de uma decomposição de cluster para contar conjuntos independentes que eu acho que podem ser transformados em PTAS para instâncias com decaimento de correlação - yaroslavvb.blogspot.com/2011/02/…

— Yaroslav Bulatov