Complexidade do problema de interseção de coset

Dado o grupo de simetria e dois subgrupos e , mantém?$S_n$$G, H\leq S_n$$\pi\in S_n$$G\pi\cap H=\emptyset$

Tanto quanto eu sei, o problema é conhecido como o problema de interseção de coset. Eu estou querendo saber qual é a complexidade? Em particular, esse problema é conhecido por estar no coAM?

Além disso, se é restrito a ser abeliano, qual é a complexidade?$H$

Tempo moderadamente exponencial e (para o oposto do problema, como indicado: a interseção de coset é normalmente considerada como tendo uma resposta "sim" se os cosets se cruzarem, ao contrário de como é declarado no OQ.)$\mathsf{coAM}$

Luks 1999 ( cópia do autor livre ) forneceu um algoritmo de tempo, enquanto Babai (veja sua tese de doutorado em 1983, também Babai-Kantor-Luks FOCS 1983 e uma versão em diário) deu uma 2 ˜ O ( $2^{O(n)}$algoritmo time, que continua sendo o mais conhecido até o momento. Desde gráfico isomorfismo reduz a intersecção coset quadrática de tamanho, melhorando isso a2 ~ S (n 1 / 4 - ε )iria melhorar o estado da arte para isomorfismo gráfico.$2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$$2^{\tilde{O}(n^{1/4-\epsilon})}$

Considere o complemento, ou seja, onde você será solicitado a testar se . Como já apontado no esta resposta , testando se g ∈ ⟨ g 1 , ... , g k ⟩ é em NC ⊆ P [1]. Então você pode adivinhar g , h ∈ S n e testar em tempo polinomial se g ∈ G , h ∈ H e g π = h . Isto produz um $G \pi \cap H \not= \emptyset$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k\rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$g, h \in S_n$$g \in G$$h \in H$$g \pi = h$$\text{NP}$limite superior e, portanto, seu problema está no .$\text{coNP}$

Edit : É mostrado em [2, Thm. 15] que o problema de interseção do coseto está em . Como observado aqui , p. 7, o problema de interseção de coset não é, portanto, NP completo, a menos que a hierarquia polinomial de tempo entre em colapso. Além disso, é observado aqui , p. 6, que Luks demonstrou que o problema está em P quando H é solucionável, o que inclui o caso de H abelian.$\text{NP} \cap \text{coAM}$$\text{P}$$H$$H$

[1]  L. Babai, EM Luks e A. Seress. Grupos de permutação em NC . Proc. 19o simpósio anual da ACM sobre Teoria da Computação, pp. 409-420, 1987.

[2] L. Babai, S. Moran. Jogos Arthur-Merlin: Um sistema de provas aleatórias e uma hierarquia de classes de complexidade . Journal of Computer and System Sciences, vol. 36, edição 2, pp. 254-276, 1988.