Onde é explorada a parametridade relacional nos modelos de hiperdoctrina ou topos?

Reynolds propôs originalmente uma semântica relacional para o cálculo lambda polimórfico de segunda ordem [1]. No entanto, mais tarde ele mostrou [2] que essa abordagem era inconsistente com a teoria clássica dos conjuntos. Pitts descreveu a estrutura dos modelos de hiperdocina e modelos topos [3] que são consistentes com a lógica construtiva.

Presumivelmente, foram desenvolvidos modelos de hiper-doutrina relacional e topos. Onde posso ler sobre eles?

• [1] Tipos, abstração e polimorfismo paramétrico
• [2] O polimorfismo não é teórico-conjunto
• [3] O polimorfismo é definido em teoria, construtivamente

• Por razões técnicas, não houve muito trabalho em modelos topográficos paramétricos. A lógica interna de um topos é uma forma de teoria dos conjuntos, e a indexação impredicativa no estilo F e o axioma do conjunto de potências são incompatíveis. Veja os tipos de energia não triviais de Andy Pitts não podem ser subtipos de tipos polimórficos :

  Este artigo estabelece uma nova relação limitativa entre o cálculo lambda polimórfico e o tipo de teoria dos tipos de ordem superior que é incorporada na lógica das toposes. Demonstra-se que qualquer incorporação em topos da categoria fechada cartesiana de tipos (fechados) de um modelo do cálculo lambda polimórfico deve colocar os tipos polimórficos bem longe dos tipos de potência, P (X), dos topos, no sentido que P (X) é um subtipo de tipo polimórfico apenas no caso de X estar vazio (e, portanto, P (X) ser terminal). Como corolários, obtemos reforços do resultado de Reynolds sobre a inexistência de modelos teóricos de polimorfismo.

  Como resultado, mesmo que você possa dar um universo para interpretar os tipos de F na lógica do topos, não é possível deixá-lo interagir de maneiras interessantes com o universo inteiro de conjuntos. No entanto, nem tudo está perdido!

  1. O fato de um universo (não paramétrico) de conjuntos interpretar o Sistema F significa que você pode fornecer um modelo paramétrico do Sistema F na lógica interna dos topos, com muito mais facilidade do que na teoria dos conjuntos comum. Essencialmente, você não precisa se preocupar com PERs, pois pode presumir que possui uma coleção adequada de conjuntos. Bob Atkey usou essa idéia em seu artigo Parametridade relacional para tipos superiores , onde elaborou a parametridade para , trabalhando no cálculo impredicativo das construções.$F_\omega$

  2. Outra reação ao resultado de Pitts é não trabalhar com uma teoria dos conjuntos, mas uma teoria do tipo dependente. Como não existe um tipo de poder antigo na teoria dos tipos dependentes, você não precisa se preocupar com a interação de tipos de poder e polimorfismo. Veja Um modelo relacionalmente paramétrico de Atkey, Ghani e Johann da teoria dos tipos dependentes .

• No entanto, não existem obstáculos para a construção de modelos de hiper-doutrina, onde os termos do Sistema F são objetos da lógica. A pesquisa nesse sentido provavelmente foi iniciada por Abadi e Plotkin em seu artigo seminal A Logic for Parametric Polymorphism . Lars Birkedal e seus colaboradores trabalharam intensamente na formulação de modelos categóricos para essa e outras lógicas similares - veja em particular Birkedal, Møgelberg e os Modelos Teóricos da Categoria de Petersen de Abadi Linear e Plotkin Logic , de Petersen , que fornecem uma lógica para raciocinar sobre o Sistema F linear. , além de uma prova de que é sólida e completa em relação a uma determinada classe de modelos categóricos.