Problemas naturais de NP completos com testemunhas “grandes”

A pergunta sobre a história " O que é NP restrito a testemunhas de tamanho linear? " Pergunta sobre a classe NP restrita a testemunhas de tamanho linear $O(n)$ , mas

Existem problemas naturais de NP completos nos quais (sim) instâncias de tamanho $n$ exigem testemunhas de tamanho maior que $n$ ?

Claramente, podemos criar problemas artificiais como:

• $L = \{ 1^nw \mid w \text{ encodes a satisfiable formula and } |w|=n \}$
• $L = \{ \varphi \mid \varphi \text{ is SAT formula with more than } |\varphi|^2 \text{ satisfying assignments}\}$

Após uma rápida olhada em G&J, todo problema natural de NPC parece ter testemunhas (estritamente) menores que $n$ .

Existe uma "razão / explicação" para isso?

Que tal o número de cores das bordas em um gráfico denso (também conhecido como índice cromático )? Você recebe a matriz de adjacência de um gráfico de n vértices ( entrada de n 2 bits), mas a testemunha natural que descreve a coloração tem tamanho n 2 log n . Certamente, pode haver provas mais curtas para os gráficos da classe 1 no teorema de Vizing .$n$$n^2$$n^2\log n$

Veja também esta questão possivelmente relacionada

Eu me deparei com alguns problemas bastante completos de NP que aparentemente exigem longas testemunhas. Os problemas, parametrizados pelos números inteiros C e D, são os seguintes:$C$$D$

Entrada: A uma fita TM- M Pergunta: Existe algum n ∈ N , de tal modo que H torna mais de C n + D etapas em alguma entrada de comprimento n ?$M$
$n\in\mathbb{N}$$M$$Cn+D$$n$

Sometimes the complement of the problem is easier to state: Does a given one-tape TM $M$ run in time $Cn+D$, ie. does it make at most $Cn+D$ steps on all inputs of size $n$, for all $n$?

O resultado completo é apresentado aqui . Basicamente, é mostrado que, se queremos verificar se uma TM de uma fita é executada no tempo C n + D , precisamos verificar isso apenas nas entradas de comprimento delimitadas por q O ( C ) , onde q é o número de estados da entrada TM. Portanto, a testemunha seria a entrada do comprimento q O ( C ) pelo qual o tempo limite é violado. Também é mostrado na referência que esses problemas são NP-completos para todos C ≥ 2 e D ≥ 1 .$Cn+D$$q^{O(C)}$$q$$q^{O(C)}$$C\geq 2$$D\geq 1$

Agora, se a testemunha é uma entrada que viola o tempo de execução, ela deve ter um comprimento q Ω ( C ) em geral. E a entrada é do comprimento O ( q 2 ) .$q^{\Omega(C)}$$O(q^2)$

Aqui está um exemplo, que parece um problema natural.

Instância: números inteiros positivos, d 1 , … , d n e k , todos delimitados de cima por n .$d_1,\ldots,d_n$$k$$n$

Pergunta: Existe um gráfico colorido k com sequência de graus d 1 , … , d n ?$k$$d_1,\ldots,d_n$

Aqui, a entrada pode ser descrita com O ( n log n ) bits, mas a testemunha pode exigir Ω ( n 2 ) bits.$O(n\log n)$$\Omega(n^2)$

Observação: não tenho uma referência de que esse problema específico seja realmente NP-completo. Mas o requisito de k- colorability poderia ser substituído por qualquer outra condição NP-complete; o problema provavelmente se tornará NP-completo para alguma condição, se não for para esta.$k$

Talvez esta seja uma "razão / explicação" boba, mas para muitos problemas do NP-Complete, uma solução é um subconjunto da entrada (mochila, capa de vértice, clique, conjunto dominante, conjunto independente, conjunto independente, corte máximo, soma do subconjunto, ... ) ou uma permutação ou atribuição a um subconjunto da entrada (caminho Hamiltoniano, vendedor ambulante, SAT, isomorfismo de gráfico, coloração de gráfico, ...).

Poderíamos tentar ler mais sobre isso ou sugerir uma razão mais extravagante, mas não tenho certeza se há algo mais profundo acontecendo ou não.

Quanto à sua primeira pergunta, Allender afirma (em Ampliando limites inferiores por meio de auto-redutibilidade ) que nenhum problema natural de NP-completo é conhecido por estar fora do NTIME (n). Isso significa que todos os conjuntos NP-completos naturais conhecidos têm testemunhas de tamanho linear.

Considere a seguinte variante do problema MAXCLIQUE .

Instância: Um circuito C com 2 n bits de entrada e tamanho polinomialmente limitado em n . Esse circuito determina implicitamente um gráfico em 2 n vértices, de modo que cada vértice seja identificado com uma sequência de n bits, e dois vértices serão conectados com uma aresta se a sequência de 2 n bits obtida pela concatenação dos dois IDs de vértices for aceito pela C . Seja G ( C ) denotado este gráfico. Note-se que ele tem muitas vértices exponencialmente em N , mas ainda é determinada pelo tamanho descrição polinomial de C .$C$$2n$$n$$2^n$$n$$2n$$C$$G(C)$$n$$C$

Pergunta: Does L ( C ) conter um clique de tamanho n k , onde k é uma constante fixa?$G(C)$$n^k$$k$

Notas:

1. O problema é NP-completo. A contenção em N P é óbvia. A completude pode ser comprovada pela observação de que, se o circuito aceitar apenas pares de vértices nos quais cada ID é no máximo N = 2 n k , então G ( C ) pode ser um gráfico N- vértice arbitrário, além de muitos vértices isolados. (Qualquer gráfico desse tipo N- vertex pode ser codificado em C , pois é permitido que C tenha tamanho polinomial em n e também em N ). Então a pergunta se torna: existe uma camarilha de tamanho N / 2 em um $NP$$N=2n^k$$G(C)$$N$$N$$C$$C$$n$$N$$N/2$$N$-vertex graph? This is known to be NP-complete, for general $N$. The issue that $N$ is not arbitrary, it is restricted to $N=2n^k$, can be eliminated by appropriate padding.

2. The natural witness for the original problem is the $n^k$-sized clique, which can be described by an $O(n^{k+1})$ long string (an $n$-bit string for each of the $n^k$ vertices). Note that $k$ can be a very large constant, so the witness can be much longer than linear. (Even if the input size is the description of $C$, rather than $n$, this witness can be still much longer, because $k$ can be chosen independently of $C$.)

3. The problem can be viewed as natural, since it is a variant of MAXCLIQUE.

4. When Allender wrote "no natural NP-complete problem is known to lie outside of $NTIME(n)$," (see Amplifying Lower Bounds by Means of Self-Reducibility, Section 7), he may have had a narrower concept of naturalness in mind. For example, natural could be narrowed to something that people really want to solve on the grounds of independent, practical motivations. It is not enough if the problem is not constructed via diagonalization.