Impacto do programa de Grothendieck no TCS

Grothendieck faleceu . Ele teve um impacto maciço na matemática do século XX, continuando no século XXI. Esta pergunta é feita de alguma forma no estilo / espírito, por exemplo, de Contribuições de Alan Turing para Ciência da Computação .

Quais são as principais influências de Grothendieck na ciência da computação teórica?

A desigualdade de Grothendieck , desde seus dias em análise funcional, provou inicialmente relacionar normas fundamentais em espaços de produtos tensores. Grothendieck chamou a desigualdade de "o teorema fundamental da teoria métrica dos espaços de produto tensorial" e a publicou em um artigo agora famoso em 1958, em francês, em uma revista brasileira de circulação limitada. O artigo foi amplamente ignorado por 15 anos, até ser redescoberto por Lindenstrauss e Pelczynski (depois que Grothendieck deixou a análise funcional). Eles deram muitas reformulações dos principais resultados do artigo, relacionaram-no a pesquisas sobre operadores absolutamente somadores e normas de fatoração e observaram que Grothendieck havia resolvido problemas "abertos" que haviam sido levantados apóso artigo foi publicado. Pisier faz um relato muito detalhado da desigualdade, suas variantes e sua tremenda influência na análise funcional em sua pesquisa .

A desigualdade de Grothendieck é muito naturalmente expressa na linguagem de otimização combinatória e algoritmos de aproximação. Ele diz que o problema de otimização não-convexo e difícil de NP é aproximado até uma constante fixa por seu semidefinido relaxamento máximo { Σ i , j um i j ⟨ u i

$$\max\{x^TAy: x \in \{-1, 1\}^m, y \in \{-1, 1\}^n\}$$ onde S n + m - 1 é a unidade de esfera em R n + $$\max\{\sum_{i,j}{a_{ij}\langle u_i, v_j\rangle}: u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{S}^{n+m-1}\},$$ $\mathbb{S}^{n+m-1}$$\mathbb{R}^{n+m}$. As provas da desigualdade fornecem "algoritmos de arredondamento" e, de fato, o arredondamento aleatório de hiperplano de Goemans-Williamson faz o trabalho (mas fornece uma constante subótima). No entanto, a desigualdade de Grothendieck é interessante porque a análise do algoritmo de arredondamento deve ser "global", isto é, examinar todos os termos da função objetivo juntos.

Dito isto, não deve surpreender que a desigualdade de Grothendiecks tenha encontrado uma segunda (terceira? Quarta?) Vida em ciência da computação. Khot e Naor pesquisam suas múltiplas aplicações e conexões para otimização combinatória.

A história não acaba aí. A desigualdade está relacionada às violações da desigualdade de Bell na mecânica quântica (consulte o artigo de Pisier), foi usada por Linial e Shraibman no trabalho sobre complexidade da comunicação e até se mostrou útil no trabalho de análise de dados privados (plug descarado).

$X$$X\subseteq \{ \text{simple},$ $\text{dependent},$ $\text{polymorphic},$ $\text{higher-order}\}$

$p$

Estou supondo que a visão de Mulmuley de generalização da hipótese de Riemann sobre campos finitos provenientes das conjecturas de Weil possa ser pensada como fazendo perguntas que originalmente tiveram resultados frutíferos da co-homologia ética de Grothendieck.