Enumerando gráficos planares da largura da árvore limitada

Estou procurando referências para o seguinte problema: dados inteiros $n$ e $k$ , enumere todos os gráficos planares não isomórficos em $n$ vértices e largura de árvore $\leq k$ . Eu estou interessado tanto em resultados teóricos e práticos, mas principalmente algoritmos práticos que são possíveis de código e executados para como valores grandes quanto possível de $n$ e $k$ (acho $k \leq 5$ e $n \leq 15$ ). Se você já tem uma resposta, ignore as divagações abaixo.

A abordagem a seguir funciona bem para enumerar todos os gráficos não isomórficos em $n$ vértices e largura da árvore $\leq k$ (ou seja, quando a restrição de planaridade é eliminada):

(a) Enumere todos os gráficos não isomórficos nos vértices $n-1$ e largura da árvore $\leq k$ .

(b) Para cada vértice $G$ em $n-1$ vértices e largura da árvore $\leq k$ , cada clique $C$ em $\leq k$ vértices em $G$ e todo subconjunto $S$ de arestas em $C$ , faça $G'$ partir de $G - S$ adicionando um novo vértice $v$ adjacente a $C$ . Adicione $G'$ à lista ${\cal L}$ de grahs em $n$ vértices e largura da árvore $\leq k$ .

(c) Apare ${\cal L}$ removendo cópias do mesmo gráfico.

Uma maneira tentadora de estender isso para enumerar gráficos planares de largura de árvore é simplesmente filtrar os gráficos não planares a cada iteração. Infelizmente, isso não gera todos os gráficos planares de largura de árvore ≤ k (por exemplo, porque apenas enumera gráficos com 4 degenerados).$\leq k$$\leq k$$4$

É claro que poderíamos enumerar todos os gráficos em vértices e largura de árvore ≤ k e filtrar apenas os não-planos, mas isso não permite explorar que a maioria dos gráficos não é plana e parece muito sub-ideal.$n$$\leq k$

Existe um bom software que gera pequenos gráficos planares com relação ao isomorfismo, o que pode ajudar. Como vejo, um dos problemas era gerar gráficos planares não isomórficos e a maioria desses gráficos planares (em menos de 15 vértices) são de pequena largura de árvore.

$k$$G$$G$$P$$d$$v\in P$$l$$u\in G\setminus P$$w\in P$$G$$d+l$$k$

$15$$4$$t$$t>5$

$k$$G$

$G,B$$G$$k$$B$$k$$G$$B$

$G,B$$G$$n-1$$G'$$S$$B$$v$$S$$B'$$k$$B \cup v$$G',B'$$G'$

Um limite superior fácil para quantas entradas é necessário armazenar é vezes o número de gráficos enumerados, mas esse é um limite pessimista. Para a maioria dos gráficos de largura de árvore k, a maioria dos subconjuntos de tamanho k não pode ser agrupada, por exemplo, uma grade possui apenas possíveis agrupamentos.$n \choose k$$k \times n$$n \cdot 3^{k-1}$

Acredito que isso funcionará tão bem quanto o algoritmo para gráficos não planares, pois para cada par G, B obtemos um gráfico ao fazer B uma clique, a maioria desses gráficos não é isomórfica.

Existem vários truques que podemos aplicar para acelerar isso, eu sugiro olhar para: http://www.siam.org/meetings/alenex04/abstacts/HBodlaender.pdf