Avalanche como processo estocástico

Considere o seguinte processo:

Existem compartimentos organizados de cima para baixo. Inicialmente, cada caixa contém uma bola. Em cada passo, nós$n$

1. escolha uma bola aleatória e$b$
2. mova todas as bolas da bandeja que contém para a bandeja abaixo dela. Se já era o compartimento mais baixo, removemos as bolas do processo.$b$

Quantas etapas são necessárias na expectativa até o término do processo, ou seja, até que todas as bolas tenham sido removidas do processo? Isso já foi estudado antes? A resposta segue facilmente de técnicas conhecidas?$n$

Na melhor das hipóteses, o processo pode terminar após etapas. Na pior das hipóteses, pode etapas . Ambos os casos devem ser muito improváveis. Minha conjectura é que são necessários passos e fiz algumas experiências que parecem confirmar isso.Θ ( n 2 ) Θ ( n log n $n$$\Theta(n^2)$$\Theta(n\log n)$

(Observe que escolher uma lixeira uniformemente aleatoriamente é um processo muito diferente que obviamente levará etapas para concluir.)$\Theta(n^2)$

Não é realmente uma resposta, mas um comentário extenso sobre a resposta de András.

A resposta de András contém uma boa intuição, embora eu não acredite que seja um cálculo rigoroso do número esperado de etapas. Acho que talvez seja uma boa aproximação a uma resposta, mas não parece lidar adequadamente com os casos em que a lixeira abaixo da lixeira ocupada mais alta fica vazia antes que a lixeira superior seja esvaziada para baixo. Ainda assim, essa pode ser uma aproximação razoável a ser feita (não tenho certeza).

Seu cálculo contém um erro que afeta a escala. Vou pegar exatamente o mesmo ponto de partida, refazer e expandir o cálculo.

Ele perde um fator de p dentro da soma, pois a probabilidade de escolher aleatoriamente o compartimento correto é vez de . Como resultado, temos$\frac{p}{n}$$\frac{1}{n}$

$\begin{eqnarray*} n + \sum_{p=1}^n \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) \frac{p}{n} \left(\frac{n-p}{n}\right)^k & = & n + \sum_{p=1}^{n} \frac{p}{n} \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) \left(\frac{n-p}{n}\right)^k \\\\& = & n + \sum_{p=1}^{n} \frac{p}{n} \cdot \frac{n^2}{p^2} \\\\& = & n + n\sum_{p=1}^{n} 1/p \\\\& = & n (1+H_n) \end{eqnarray*}$

onde é o enésimo número do harmônico . Para aproximar , podemos simplesmente substituir a soma por uma integral: . Portanto, a escala é ou aproximadamente . Embora essa escala não corresponda exatamente à escala do problema (veja a simulação abaixo), ela ocorre quase por exatamente um fator de .H N H N ≈ ∫ n + 1 1$H_n = \sum_{p=1}^{n} 1/p$$H_n$$H_n \approx \int_{1}^{n+1} \frac{1}{x} dx = \log(n+1)$$n (1+\log(n+1))$$n \log(n+1)$$\log(2)$

Círculos vermelhos: pontos de dados da simulação do processo com média de 10 mil execuções. Verde: . Azul: .$n \log_2(n+1)$$n \log(n+1)$

Edit: Estou deixando esta resposta como está (por enquanto) para ilustrar o processo confuso de provar teoremas, algo que é deixado de fora dos trabalhos publicados. A principal intuição aqui é que basta focar na bola de cima, pois ela varre tudo abaixo dela. Por favor, veja os comentários (em particular @Michael apontando que podem ocorrer lacunas) e a resposta posterior de @ Joe sobre como os erros foram identificados e corrigidos. Gosto especialmente do uso de experimentos de Joe para verificar se as fórmulas eram sensatas.

$n$$(1 + \pi^2/6)n$

$b_1b_2\cdots b_n$$b_1 = n$$b_2 \ge n-1$$\dots$$b_i \ge n-i+1$$b_1$$b_2$$b_n$$1,2,\ldots,n$) Estes podem ser vistos como eventos separados, um após o outro. O número esperado de etapas é então

$\begin{eqnarray*}n + \sum_{p=1}^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{n} \left(\frac{n-p}{n}\right)^k & = & n + \sum_{p=1}^{n-1} \frac{1}{n-p} \sum_{k=1}^{\infty} k\left(\frac{n-p}{n}\right)^k \\& = & n + \sum_{p=1}^{n-1} \frac{1}{n-p} n(n-p)/p^2 \\& = & n + n\sum_{p=1}^{n-1} 1/p^2 \\& \le & (1 + \pi^2/6)n. \end{eqnarray*}$