A remoção de quadrados é mais fácil do que fatorar?

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Parece-me que a tarefa de remoção de quadrados pode ser reduzida à tarefa de fatoração , mas que não há como reduzir o fatoramento à remoção de quadrados. Existe uma maneira de tornar esse "sentimento" mais preciso, ou seja, alguma hipótese comumente considerada que seria violada se o fatoramento pudesse ser reduzido à remoção quadrada? Mas se a remoção quadrada deve realmente ser mais fácil do que fatorar (no sentido descrito acima), a próxima pergunta é se é um problema intermediário de NP (ou seja, se um algoritmo de tempo polinomial para ele é conhecido ou não).

Aqui está uma descrição desajeitada das tarefas de remoção e fatoração de quadrados :

Seja $n\in\mathbb{N}^*$ dado em representação binária. Vamos $n=\prod_i p_i^{\alpha_i}$ com $p_i$ privilegiada, $\alpha_i\in\mathbb{N}^*$ , e $p_i\neq p_j$ para $i\neq j$ ser Fatorização privilegiada de $n$ .

Para a remoção de quadrado, a representação binária de $m=\prod_i p_i$ é solicitada.
Para fatoração, é necessário encontrar (a representação binária de) um fator não trivial de $n$ , ou seja, um número $q=\prod_j p_j^{\beta_j}$ com $1<q<n$ , $\beta_j\in\mathbb{N}$ e $\beta_j\leq\alpha_j$ .

cc.complexity-theory nt.number-theory factoring

— Thomas Klimpel
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\prod_{i} p_{i}

$\prod_ip_i$

n

$n$

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Apenas como uma observação lateral: Presumo que sua pergunta seja direcionada a números inteiros. Para polinômios, a fatoração sem quadrado é realmente muito mais simples que a fatoração completa.

— Christopher Creutzig

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Eu acredito que nenhum algoritmo polinomial é conhecido.

De acordo com um artigo, isso é usado em pelo menos um sistema de criptografia:

$p^k q$ $p^ k q$

$pq$ $\frac{p^k q}{pq}=p^{k-1}$

$\alpha_i=1$

— joro
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Pergunta interessante e boa resposta!

— Tayfun Pay

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$\alpha_i$ $n$

$n$ $n$

$n$ $m$ $m$ $n$ $m$ $m$ $x$

x = \frac{n}{m^{b}}

$x = \frac{n}{m^b}$

$p = \frac{m}{\gcd(x, m)}$ $p$ $\alpha_i$ $n$ $\alpha_i$ $p$ $n$

Conhecendo um fator primo em , é possível reduzir o problema para fatorar um menor , que satisfaz os mesmos critérios, para que o algoritmo possa ser repetido. $n$ $n'$

Também podemos mostrar que, se todos forem iguais, a remoção quadrada será fácil. Isso porque só pode ter tamanho logarítmico em , e todo possível pode ser testado calculando a a raiz de . $\alpha_i$ $\alpha_i$ $n$ $\alpha_i$ $\alpha_i$ $n$

No entanto, o resultado obtido dessa maneira estará incorreto se o não for igual. O resultado obtido será correto se não houver quadrado. E @joro apontou que nenhum algoritmo polinomial é conhecido por decidir se um número é livre de quadrados. $\alpha_i$

Portanto, para alguns quadrados, remoção e fatoração é equivalente. Para outros quadrados, a remoção é fácil. Diferenciar esses dois casos parece difícil. $n$ $n$

— Kasperd
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