Sistemas de adição de vetores com “obstáculos” finitos

Um sistema de adição de vetores (VAS) é um conjunto finito de ações . é o conjunto de marcações . Uma execução é uma palavra não vazia de marcações r . Se essa palavra existe, dizemos que é acessível a partir de .$A \subset \mathbb{Z}^d$m 0 m 1 … m n ∀ i ∈ { 0 , … , n - 1 } , m i + 1 - m i ∈ A m $\mathbb{N}^d$$m_0 m_1\dots m_n$$\forall i \in \{0, \dots, n-1\}, m_{i+1}-m_i \in A$$m_n$$m_0$

Sabe-se que o problema de alcançabilidade dos VASs é decidível (mas sua complexidade é um problema em aberto).

Agora, vamos supor que seja dado um conjunto finito de marcações proibidas (os obstáculos ). Gostaria de saber se o problema de acessibilidade ainda é decidível.

Intuitivamente, o conjunto finito de obstáculos deve interferir nos caminhos apenas localmente, para que o problema permaneça decidível. Mas não parece trivial provar isso.

EDIT . Manterei a resposta de Jérôme como a aceita, mas gostaria de acrescentar uma pergunta de acompanhamento: e se o conjunto de marcações for ?$\mathbb{Z}^d$

A idéia é baseada em uma discussão que tive com Grégoire Sutre esta tarde.

O problema é decidível da seguinte maneira.

Uma rede de Petri é um conjunto finito de pares em chamados transições. Dada uma transição , denotamos por a relação binária definida no conjunto de configurações por se existe um vetor tal que e . por a relação de alcançabilidade de uma etapa . O fechamento reflexivo e transitivo dessa relação é denotado porN d × N d t = ( → u$T$$\mathbb{N}^d\times\mathbb{N}^d$ t → Nd → x t → → y → z ∈Nd → x = → u + → z → y = → v + → z t → ⋃t∈T t → T ∗$t=(\vec{u},\vec{v})$$\xrightarrow{t}$$\mathbb{N}^d$$\vec{x}\xrightarrow{t}\vec{y}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{y}=\vec{v}+\vec{z}$$\xrightarrow{T}$$\bigcup_{t\in T}\xrightarrow{t}$$\xrightarrow{T^*}$ .

Seja a ordem parcial clássica do componente em vez de e definida por se existir , que . O fechamento para cima de um conjunto de é o conjunto de vetores . O fechamento para baixo de um conjunto é o conjunto de vetores .N d → u ≤ → x → z ∈ N d → x = → u + → z → X N d ↑ → X { → v ∈ N d | ∃ → x ∈ → X$\leq$$\mathbb{N}^d$$\vec{u}\leq \vec{x}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{X}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{X}$ → X ↓ → X { → v ∈Nd|∃ → x ∈ → x$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{X}.\,\vec{x}\leq\vec{v}\}$$\vec{X}$${\downarrow}\vec{X}$$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{x}.\,\vec{v}\leq\vec{x}\}$

Observe que se para algum conjunto finito de e se for uma rede de Petri, podemos calcular uma nova rede de Petri modo que, para todas as configurações , temos e se, e somente se, . De fato, se for uma transição, para cada , deixe que é o vetor em→ B NdTT → B → x , → y → x T → → y → x , → y ∈ → U → x T → B → → y t=( → u , → v ) → b ∈ → B t → b =($\vec{U}={\uparrow}\vec{B}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$$T$$T_{\vec{B}}$$\vec{x},\vec{y}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{y}$$\vec{x},\vec{y}\in\vec{U}$$\vec{x}\xrightarrow{T_{\vec{B}}}\vec{y}$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\vec{b}\in\vec{B}$ → z Nd → z (i)=max{ → b (i)- → u (i), → b (i)- → v (i),0}1≤i≤dT → U ={t$t_{\vec{b}}=(\vec{u}+\vec{z},\vec{v}+\vec{z})$$\vec{z}$$\mathbb{N}^d$ definido em componentes por para cada . Observe que atende ao requisito.$\vec{z}(i)=\max\{\vec{b}(i)-\vec{u}(i),\vec{b}(i)-\vec{v}(i),0\}$$1\leq i\leq d$$T_{\vec{U}}=\{t_{\vec{b}} \mid t\in T\,\vec{b}\in\vec{B}\}$

Agora, suponha que seja uma rede de Petri, o conjunto de obstáculos. Introduzimos o conjunto finito . Observe que podemos calcular efetivamente um conjunto finito de tal que . Seja a relação binária definida sobre por se , ou existe modo que→ O → D = ↓ → O → B N$T$$\vec{O}$$\vec{D}={\downarrow}\vec{O}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$ R N d ∖ → O → x R → y → x = → y → x ' , → y ' ∈ N d ∖ → O → x T → → x ′ T ∗ ${\uparrow}\vec{B}=\mathbb{N}^d\backslash\vec{D}$$R$$\mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x} R \vec{y}$$\vec{x}=\vec{y}$$\vec{x}',\vec{y}'\in \mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{x}'\xrightarrow{T_{\vec{B}}^*}\vec{y}'\xrightarrow{T}\vec{y}$.

Agora, observe que, se houver uma execução da configuração inicial para a última que evita o obstáculo , existe uma que evita o obstáculo em e que passa pelas configurações em no máximo no cardeal desse conjunto. Portanto, o problema reduz para selecionar configurações não determinísticas distintas em , corrija como a configuração inicial , como a configuração final e verifique se$\vec{x}$→ O → O → D ∖ → O → c 1,...,$\vec{y}$$\vec{O}$$\vec{O}$$\vec{D}\backslash \vec{O}$ → D ∖ → O → c 0 → x cn+1 → y → c jR → c j+1$\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_n$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_0$$\vec{x}$$c_{n+1}$$\vec{y}$$\vec{c}_j R \vec{c}_{j+1}$ para cada . Esse último problema se reduz a questões clássicas de acessibilidade para redes de Petri.$j$

Eu estive pensando sobre a sua pergunta para sistemas de adição de vetores com estados (VASS) que são equivalentes ao VAS e surgiu com esta solução. Agora, li a bela resposta de Jérôme e devo dizer que minha resposta é muito semelhante; portanto, aceite a resposta dele mesmo que considere a minha correta.

Idéia: É possível converter um VASS em um VASS que proíba vetores menores ou iguais aos obstáculos. Não é exatamente isso que queremos, já que vetores menores, mas não iguais aos obstáculos, podem ser alcançados. No entanto, existem finitamente muitos desses vetores. Isso permite uma decomposição de execuções mínimas em muitas execuções finitas que são uma transição de ou uma execução equivalente de . Portanto, sim , o problema é decidível.V ′ V V $V$$V'$$V$$V'$

Detalhes: Deixe ser uma -VASS, ou seja, é um gráfico finito marcado de modo que . Seja o conjunto de obstáculos. Se e , escrevemos sempre que é um executado a partir de para com cada configuração intermédia em . Nós denotamosd V T ⊆ Q × Z d × Q ó ⊆ N d ¸ ∈ t * X ⊆ N$V=(Q,T)$$d$$V$$T \subseteq Q \times \mathbb{Z}^d \times Q$$O \subseteq \mathbb{N}^d$$\pi ­\in T^*$$X \subseteq \mathbb{N}^d$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_X q(\boldsymbol{v})$p ( u ) q ( v ) Q × X ↓ X = { y : y ≤ $\pi$$p(\boldsymbol{u})$$q(\boldsymbol{v})$$Q \times X$${\downarrow}X = \{\boldsymbol{y} : \boldsymbol{y} \leq \boldsymbol{x} \text{ for some } \boldsymbol{x} \in X\}$ .

Seja uma execução mínima tal que , ou seja, uma execução mínima que evita os obstáculos. Então, pelo princípio do pigeonhole, pode ser fatorado como uma corrida que entra apenas finitamente muitas vezes. Mais formalmente, existem , e tal quep ( u ) π → N d ∖ O q $\pi$π ↓ O ∖ O t 1 , t ′ 1 … , t n + 1 , t ′ n + 1 ∈ T ∪ { ε } π 1 , … , π n + 1 ∈ T ∗ { p i ( $p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_{\mathbb{N}^d \setminus O} q(\boldsymbol{v})$$\pi$${\downarrow}O \setminus O$$t_1, t_1' \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}' \in T \cup \{\varepsilon\}$$\pi_1, \ldots, \pi_{n+1} \in T^*$$\{p_i(\boldsymbol{u}_i), q_i(\boldsymbol{v}_i), r_i(\boldsymbol{w}_i)\}_{i \in [0,n+1]} \subseteq Q \times \mathbb{N}^d$

• $\pi = t_1 \pi_1 t_1' \cdots t_{n+1} \pi_{n+1} t_{n+1}'$ ,
• $\forall i \in [0,n]\ \; p_i(\boldsymbol{u}_i) \xrightarrow{t_{i+1}}_{\mathbb{N}^d} q_{i+1}(\boldsymbol{v}_{i+1}) \xrightarrow{\pi_{i+1}}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} r_{i+1}(\boldsymbol{w}_{i+1}) \xrightarrow{t_{i+1}'}_{\mathbb{N}^d} p_{i+1}(\boldsymbol{u}_{i+1})$
• $p_0(\boldsymbol{u}_0) = p(\boldsymbol{u}),\ p_{n+1}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = q(\boldsymbol{v})$ ,
• $\forall i \in [1,n]\ \; \boldsymbol{u}_i \in {\downarrow}O \setminus O$ .
• $n \leq |Q| \cdot |{\downarrow}O|$.

Portanto, basta adivinhar , e as configurações intermediárias. Testando se pode ser realizado convertendo em um novo -VASS onde cada transição é substituída por um gadget de transições. Por exemplo, se , as transições serão substituídas da seguinte maneira:t 1 , t ′ 1 , … , t n + 1 , t ′ n + 1 p ( x ) ∗ → N d ∖ ↓ O q ( y ) V d V ′ t ∈ T 4 | O | + 1 O = { ( 1 , 5 ) , ( 2 , $n$$t_1, t_1', \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}'$$p(\boldsymbol{x}) \xrightarrow{*}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} q(\boldsymbol{y})$$V$$d$$V'$$t \in T$$4|O|+1$$O = \{(1,5), (2,3)\}$