Comparando a complexidade das teorias de Kolmogorov

O teorema da incompletude de Chaitin diz que nenhuma teoria aritmética suficientemente forte pode provar onde é a complexidade Kolmogorov da corda e é uma constante suficientemente grande. é suficientemente grande se for maior que o tamanho em bits de uma máquina de verificação de provas (PCM). A PCM para a teoria leva uma string codificada como um inteiro como entrada e gera um 1 se a string é uma prova válida na linguagem da .K ( s ) s L $K(s) > L$$K(s)$$s$$L$$L$$T$$T$

Suponha quepara teoria é um limite superior para a complexidade de . Considere a seguinte hierarquia de teorias: Seja a teoria da base aritmética de Robinson ( ). Aumentar com axiomas cada vez mais fortes de indução limitada polinomial. Seja a teoria dos teoremas comprovável com e qualquer um desses axiomas de indução limitados. Suponha que possamos definir e definindo PCMs para cada teoria.T $L(T) > |PCM_T|$$T$$T$Q Q ∗ Q L ( Q ) L ( Q ∗$Q$$Q$$Q^*$$Q$$L(Q)$$L({Q^*})$

Quero considerar uma EPCM (máquina de verificação de provas aprimorada) para . Este EPCM usa uma string como entrada, assim como um ECM, e tem uma segunda entrada que define a classificação e o nível de uma sub-teoria de Q ∗ . Se a sequência de entrada for uma prova válida em Q ∗, o EPCM seguirá as etapas da prova para determinar a classificação mais alta e o nível de indução usado. Este EPCM então escreve 1 se a sentença de entrada for uma prova válida na subteoria especificada de Q ∗ .$Q^*$$Q^*$$Q^*$$Q^*$

O verificador de prova aprimorado que descrevo é viável? Nesse caso, o tamanho deste EPCM seria um limite superior não apenas para a complexidade de $Q^*$ , mas também um limite superior para a complexidade de qualquer subteoria de $Q^*$ ?

É razoável dizer que há um limite superior constante na complexidade de $Q^*$ e em todas as suas sub-teorias?

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Essa questão foi inspirada pela prova falhada de Nelson da inconsistência da aritmética. Não mencionei isso antes, porque algumas pessoas acham essa prova perturbadora. Minha motivação é fazer uma pergunta interessante. CSTheory parece ser o fórum certo para esta pergunta. A complexidade de $Q^*$ e todas as suas sub-teorias são limitadas por uma constante ou ilimitada. Qualquer resposta leva a mais perguntas.

Se a complexidade das sub-teorias é ilimitada, podemos fazer perguntas como qual é a sub-teoria mais fraca de mais complexa que Q ∗ ? Ou mais complexo que PA e ZFC? Pensar nessa questão já me mostrou que há um limite severo de quanto uma teoria pode provar sobre a complexidade das cordas de Kolmogorov. Se Q ∗ for consistente, nenhuma de suas sub-teorias pode provar K ( s ) > L ( Q ∗ ) para qualquer string. Isso significa que mesmo sub-teorias realmente fortes não podem provar que há seqüências mais complexas do que uma sub-teoria muito mais fraca, onde a teoria mais fraca é mais complexa que $Q^*$$Q^*$$Q^*$$K(s) > L(Q^*)$ .$Q^*$

Tentarei dar uma resposta a esta pergunta e tentar esclarecer algumas confusões quanto à forma exata da pergunta.

O primeiro ponto que eu quero fazer: o no resultado do constante de chaitin é de fato uma função de t . No sentido absoluto , é monotônico na expressividade de T : se L ( T ) é o menor número natural para o qual T ⊬ K ( s ) ≥ L ( T ) para qualquer corda s , então se T ′ é uma teoria consistente mais forte que T ( T ⊢ φ implica T $L$$T$$T$$L(T)$

$$T\not\vdash K(s)\geq L(T)$$ $s$$T'$$T$$T\vdash\varphi$ para qualquer frase aritmética φ ), então L ( T ' ) ≥ L ( T ) . O argumento é muito simples: se existe um número tal que T ⊢ K ( s ) ≥ L então T ′ ⊢ K ( s ) ≥ L por hipótese.$T'\vdash\varphi$$\varphi$$L(T')\geq L(T)$$s$$T\vdash K(s)\geq L$$T'\vdash K(s)\geq L$

No entanto, isso só é verdade se for a constante absoluta de Chaitin. Em particular, se T ' prova C o n ( t ) , então T ' ⊢ ∃ G ∀ s ⌈ T ⊬ K ( ¯ s ) ≥ ¯ L$L(T)$$T'$$\mathrm{Con}(T)$

$$T'\vdash \exists L\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq \overline{L}\rceil$$

internalizando o argumento de Chaitin. No entanto , um concreto para o qual$l$

$$T'\vdash\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq\overline{l}\rceil$$

em geral, não será igual a $L(T)$ . Em particular, pode ser muito maior, geralmente proporcional ao tamanho da prova de em t $\mathrm{Con}(T)$$T'$ . Isso pode ser facilmente visto na prova do próprio teorema, que depende fundamentalmente da consistência da .$T$

Assim, enquanto pode provar consistência do sistema com indução limitada, o comprimento dessas provas fica mais longo quanto mais você se aproxima de Q ∗ em expressividade (uma maneira de entender os teoremas da incompletude é que o comprimento se torna infinito quando você atinge Q ∗ , portanto, não tem nenhuma prova finito de consistência no Q * si). Assim, o mesmo aplica-se aos vários limites superiores no interna G ( T ) s Q * pode descrever para cada sub-teoria.$Q^*$$Q^*$$Q^*$$Q^*$ $L(T)$$Q^*$

Então aqui está a resposta curta para sua pergunta: é delimitada uniformemente para todos os subteorias de Q * , mas Q * si não pode mostrar que esse limite é válido para todos esses subteorias. Esse foi o erro crucial que Nelson cometeu (enterrado sob várias camadas de formalismo) e que Tao apontou aqui .$L(T)$$Q^*$$Q^*$