Consequências computacionais do teorema do ponto fixo de deslocamento superior (improvável) de Friedman?

Harvey Friedman mostrou que há um resultado puro de ponto fixo que não pode ser provado no ZFC (a teoria dos conjuntos de Zermelo-Frankel usual com o Axiom of Choice). Muitas lógicas modernas são construídas sobre operadores de ponto fixo, então eu me perguntava: existem consequências conhecidas do teorema do ponto fixo de deslocamento superior para a ciência da computação?

Teorema do ponto fixo de mudança superior não comprovável
Para todos os $R \in \text{SDOI}(Q^k,Q^k)$ , alguns $A = \text{cube}(A,0) \setminus R[A]$ contêm ( A ) .$\text{us}(A)$

O Teorema do USFP parece ser uma afirmação $\Pi^1_1$ , portanto pode estar "suficientemente próximo" da computabilidade (como verificar o não isomorfismo de estruturas automáticas), para impactar a ciência da computação teórica.

Para completar, aqui estão as definições da palestra do Friedman no MIT de novembro de 2009 (consulte também o livro preliminar "Teoria das relações booleanas" ).

é o conjunto de números racionais. x , y ∈ Q k sãoequivalentes à ordemse sempre que 1 ≤ i , j ≤ k, então x i < x j ⇔ y i < y j . Quando x ∈ Q k , em seguida, odesvio superiorde x , indicada nos ( x ) , obtido por adição de 1 a cada não-coordenada negativa de x . Uma relação$Q$$x, y \in Q^k$$1 \le i,j \le k$$x_i \lt x_j \Leftrightarrow y_i \lt y_j$$x \in Q^k$$x$$\text{us}(x)$$x$ éinvariante fimse para cada ordeminvarianteequivalente x , y ∈ Q k é válido que x ∈ Um ⇔ y ∈ Uma . Uma relação R ⊆ Q k × Q k é invariante pela ordem se R é invariante pela ordem como um subconjunto de Q 2 k e éestritamente dominantese para todos os x , y ∈ Q k sempre que R $A \subseteq Q^k$ $x,y \in Q^k$$x \in A \Leftrightarrow y \in A$$R \subseteq Q^k \times Q^k$$R$$Q^{2k}$$x,y \in Q^k$$R(x,y)$$\max(x) \lt \max(y)$$A$$Q^k$$R[A]$$\{ y | \exists x \in A R(x,y)\}$$A$$\text{us}(A) = \{\text{us}(x) | x \in A\}$$\text{cube}(A,0)$$B^k$$0 \in B$$A$$B^k$$\text{SDOI}(Q^k,Q^k)$$R \subseteq Q^k \times Q^k$

Edit: Como Dömötör Pálvölgyi aponta nos comentários, considerar e como a ordem usual dos racionais parece produzir um contra-exemplo. Primeiro, o conjunto não pode estar vazio, pois também está vazio e deveria conter 0 pela condição do cubo, uma contradição. Se o conjunto não vazio tiver um valor mínimo, ele não poderá conter nenhum racional maior que esse, portanto, ele deve ser um singleton, o que contradiz a condição de deslocamento superior. Se, por outro lado, não tiver um mínimo, então então deve estar vazio, uma contradição. $k=1$$R$$A$$R[A]$$A$$A$$A$$R[A] = Q$$A$Comentários sobre se existem problemas de definição não óbvios ocultos, como talvez um modelo implícito não-padrão dos racionais?

Edição adicional: o argumento acima está aproximadamente correto, mas está errado na aplicação do turno superior. Esse operador se aplica apenas a coordenadas não-negativas ; portanto, a configuração de como qualquer conjunto de singleton negativo gera um ponto fixo, conforme desejado. Em outras palavras, se então é uma solução e não há outras soluções.$A$$m < 0$$A = \{m\}$

Não conheço nenhuma consequência desse teorema em particular, mas as provas de normalização dos cálculos lambda, como o cálculo das construções indutivas, dependem de grandes axiomas cardinais - mesmo que o conjunto de termos lambda seja tão contável quanto você desejar.

Penso que a melhor maneira de entender o significado computacional dos axiomas da teoria dos conjuntos que afirmam a existência de cardeais grandes é pensar na teoria dos conjuntos como uma maneira de formular a teoria dos gráficos. Ou seja, um modelo de conjunto é uma coleção de elementos equipados com uma relação binária usada para interpretar a associação. Então, os axiomas da teoria dos conjuntos informam propriedades da relação de associação, incluindo como você pode formar novos conjuntos a partir dos antigos. Em particular, o axioma da fundação significa que a relação de associação é bem fundamentada (ou seja, não possui cadeias descendentes infinitas). Essa fundamentação, por sua vez, significa que, se você pode alinhar os estados de execução de um programa com a associação transitiva dos elementos de um conjunto, possui uma prova de encerramento.

Portanto, uma afirmação de que um conjunto "grande" existe tem um retorno computacional como uma alegação de que uma determinada classe de loops em uma linguagem de programação recursiva geral termina. Essa interpretação funciona de maneira uniforme, desde o velho axioma do infinito (que justifica a iteração natural dos números) até os axiomas cardinais maiores.

Esses axiomas são verdadeiros ? Bem, se o axioma é falso, você pode encontrar um programa em uma dessas classes que não termina. Mas se for verdade, nunca teremos certeza, graças ao teorema de Halting. Tudo, desde a indução de número natural em diante, é uma questão de indução científica , que pode ser sempre falsificada por experimentos - Edward Nelson esperava que comprovadamente a exponenciação fosse uma função parcial!