É a constante de Cheeger

Eu li na uncountably muitos artigos que a determinação da constante de Cheeger de um gráfico é $\mathsf{NP}$ -Hard. Parece ser um teorema popular, mas nunca encontrei uma citação ou uma prova para essa afirmação. A quem devo dar crédito por isso? Num artigo antigo (Isoperimetric Numbers of Graphs, J. Comb. Theory B, 1989) Mohar apenas prova essa afirmação "para gráficos com múltiplas arestas".

reference-request graph-theory spectral-graph-theory

— Delio M.
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Respostas:

Eu também encontrei esse problema quando estava escrevendo um artigo que exigia uma citação para dureza de expansão de borda (ou constante de Cheeger) definida como . O artigo clássico de Leighton e Rao sobre separadores ( http://dl.acm.org/citation.cfm?id=331526 ) menciona que este é um problema difícil e refere-se ao artigo de Garey, Johnson e Stockmeyer ( http: / /www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397576900591 $\min_{S \subset V, |S| \leq |V|/2} |\delta(S)|/|S|$ ) Não pude descobrir por um tempo o que eles estavam se referindo, uma vez que não há menção de expansão de borda no referido documento. Eu me comuniquei com Avi Wigderson sobre isso. Finalmente, constatou-se que é possível usar a dureza do Max-Cut, como mostrado no artigo de Garey et al, para mostrar com relativa facilidade que a expansão da borda é difícil. Esqueço os detalhes agora, mas não deve ser difícil de recriar. O artigo de Blum et al sobre a dureza de verificar se um gráfico é um superconcentrador não implica diretamente a dureza da expansão da borda. Tecnicamente, eles não são o mesmo problema.

— Chandra Chekuri
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Meu artigo, que usa a dureza de expansão de borda, é o abaixo em linelelibrary.wiley.com/doi/10.1002/net.20165/abstract . Referimos o artigo de Leighton-Rao e o de Garey, Johnson, Stockmeyer para a dureza da expansão da borda.

— Chandra Chekuri

Obrigado! Então tecnicamente falando, a dureza de determinar a constante Cheeger não está comprovada na literatura?

— Delio M.

@DelioM. a referência Kaibel em uma das respostas de Mohammad tem uma prova completa. É apenas a redução de Garey-Johnson-Stockmeyer do corte máximo não ponderado para a minissecção mínima, com uma prova curta de que, nos gráficos produzidos pela redução, o corte mais esparso é uma bissecção.

— Sasho Nikolov

Embora, devo confessar que estou perdido. Eu sempre pensei que o max-cut está relacionado à questão de caracterizar "quão bipartido" é um gráfico. Como isso pode ajudar a encontrar "como conectado" um gráfico? De maneira equivalente, como o segundo autovalor mais baixo do Laplaciano sem sinal vincula o segundo autovalor mais baixo do Laplaciano? Que um limite inferior é óbvio, mas um limite superior?

— Delio M.

@DelioM. O Max Cut é primeiro reduzido para Min Bisection adicionando mais

vértices e utilizando o complemento do gráfico resultante. Portanto, essa redução relaciona a proximidade de um gráfico bipartido com a conexão de outro gráfico (relacionado ao complemento do primeiro).

n

$n$

— Sasho Nikolov

A prova real da dureza da constante Cheeger de computação (ou expansão de borda) foi fornecida por Kaibel em um relatório técnico por uma redução do problema MAX Cut (consulte o teorema 2). A prova é uma extensão da prova do -hardness do problema equicut dada por Garey, Johnson, e na Stockmeyer Alguns problemas gráfico NP-completos simplificados . $NP$ $NP$

V. Kaibel: Sobre a expansão de gráficos de 0/1-polytopes. Relatório técnico arXiv: math.CO/0112146, 2001

EDIT : O argumento abaixo está incorreto , como apontado por Chekuri, e foi deixado para fins educacionais.

Esta não é uma referência, como você solicitou, mas explica o status folclórico do resultado da dureza.

Aqui está uma ideia da integridade do CoNP de decidir se um gráfico cúbico conectado é um expansor de arestas e, portanto, determinar a constante Cheeger é difícil para o CoNP. $h(G)$

O problema é mínimo bissecção -Complete $NP$ para gráficos cúbicos conectados. Aqui, queremos decidir se um gráfico com um número inteiro pode ser particionado em duas partes de tamanho igual, de modo que o número de arestas cortadas seja menor que . $G$ $k$ $k$

Observe que o complemento desse problema é equivalente a decidir se o gráfico é expansor ou não (todas as partições balanceadas de têm arestas cortadas mais que ). $G$ $V$ $k$

PS Arora neste seminário estados que de -Hard reconhecer -expander gráfico (borda-expansão). http://www.cs.princeton.edu/~zdvir/apx11slides/arora-slides.pptx $CoNP$ $\alpha$

— Mohammad Al-Turkistany
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Essa prova também não funciona, porque o tamanho da minissecção não diz nada sobre a expansão da aresta por si só. Por exemplo, um gráfico desconectado em

vértices pode ter uma bissecção mínima

2 n

$2n$

(n - 2)^{2}

$(n-2)^2$

— Sasho Nikolov

O gráfico

é um gráfico cúbico conectado e, para esta classe, o problema mínimo de bissecção é NP-completo.

G

$G$

— Mohammad Al-Turkistany

@SashoNikolov Eu nunca vi alguém interessado na expansão de gráficos desconectados.

— Mohammad Al-Turkistany

Arora, não Aurora. Não duvido que decidir

seja coNP difícil. Mas em duas respostas você não deu uma referência com prova, nem uma prova. Os gráficos desconectados servem apenas para mostrar que seus argumentos são falsos. Sua "correção" também não funciona. Eu posso facilmente mostrar um gráfico cúbico conectado com uma bissecção mínima grande e constante de Cheeger arbitrariamente perto de zero. Os dois problemas estão relacionados, mas não da maneira trivial que você está sugerindo.

h (G) \geq α

$h(G) \geq \alpha$

— Sasho Nikolov

@ MohammadAl-Turkistany: Pegue dois gráficos cúbicos sem ponte conectados que são expansores, um com 2n vértices e outro com n vértices e conecte-os com três arestas, adicionando três novos vértices em cada lado, subdividindo três arestas. Agora a minissecção será grande (

) porque é necessário cortar uma boa parte do expansor maior, mas a expansão é pequena porque você pode dividir os dois expansores cortando apenas três arestas.

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Chandra Chekuri 12/03/2015