Teste de propriedade para conjuntos independentes

Suponha que recebamos um gráfico $G$ e os parâmetros $k,\epsilon$ . Existem intervalos de valores para $k$ (ou é possível para todos os $k$ ) para os quais é possível testar se $G$ é $\epsilon$ - longe de ter um conjunto independente de tamanho pelo menos $k$ no tempo $O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$ ?

Se usarmos a noção usual de -far (ou seja, no máximo ϵ n 2 arestas precisariam ser alteradas para obter esse conjunto), então o problema é trivial para k = O ( n $\epsilon$$\epsilon n^2$. assim$k = O(n\sqrt{\epsilon})$

• Parece que se for maior, algumas idéias de amostragem devem funcionar para resolver o problema. Isso é verdade ?$k$
• Existem outras noções de -far (por exemplo, talvez ϵ | E | edge) sob as quais existem resultados não triviais?$\epsilon$$\epsilon |E|$

Eu estou basicamente procurando por referências neste momento.

Este problema foi realmente estudado. Goldreich, Goldwasser e Ron o estudaram em seu trabalho seminal, que iniciou os testes de propriedades gráficas. Feige, Langberg e Schechtman também obtiveram resultados em seu trabalho da FOCS '02 "Gráficos com pequenos números cromáticos vetoriais e grandes números cromáticos" .

Especificamente, [FLS '02] mostra que é possível distinguir entre gráficos com um conjunto independente de tamanho dos gráficos far - muito menos que isso (o que significa que pelo menos ϵ n 2 arestas precisam ser removidas para criar um conjunto independente) escolhendo um subgráfico aleatório induzido por s = ˜ O ( ρ 4 / ϵ 3 ) vértices aleatórios no gráfico e verificando se o subgráfico aleatório tem um conjunto independente de tamanho ρ s ou não. ([GGR '98] mostrou um limite mais fraco em s de ˜ O ( ρ $\rho n$$\epsilon$$\epsilon n^2$$s = \tilde{O}(\rho^4/\epsilon^3)$$\rho s$$s$ .) [FLS '02] também mostra um limite inferior em s de Ω ( ρ 3 / ϵ 2 ) .$\tilde{O}(\rho/\epsilon^4)$$s$$\Omega(\rho^3/\epsilon^2)$

Outra definição natural de -close a um conjunto independente está mudando ε k 2 bordas. Infelizmente, com esta definição, o teste de propriedade não parece ser polinomial em tempo de solução. A razão é que ninguém sabe como encontrar uma camarilha plantada (e um conjunto igualmente independente) de o ( $\epsilon$$\epsilon k^2$$o(\sqrt{n})$$n$$n^{O(\log n)}$$k$$\log n$$\sqrt{n}$

Referência: Feige e Krauthgamer. Localizando e certificando uma grande clique oculta em um gráfico semi-aleatório, 1999.