A prova da complexidade de Kolmogorov é incontestável usando reduções


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Estou procurando uma prova de que a complexidade de Kolmogorov é incontestável usando uma redução de outro problema incontestável. A prova comum é uma formalização do paradoxo de Berry, e não uma redução, mas deve haver uma prova reduzindo algo como o Problema da Parada ou o Problema da Correspondência de Post.

Respostas:


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Você pode encontrar duas provas diferentes em:

Gregory J. Chaitin, Asat Arslanov, Cristian Calude: A complexidade do tamanho do programa calcula o problema da parada. Boletim do EATCS 57 (1995)

Em Li, Ming, Vitányi, Paul MB; Uma introdução à complexidade de Kolmogorov e suas aplicações é apresentada como um exercício (com uma dica sobre como resolvê-la, creditada a P. Gács por W. Gasarch em uma comunicação pessoal em 13 de fevereiro de 1992).

** Decidi publicar uma versão estendida no meu blog .


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Além disso, a prova de Chaitin (nesse link) mostra que as consultas do oracle podem ser feitas em paralelo.

Essas provas são realmente reduções rotativas (uma a uma (ou) uma a muitas)? Estou confuso !! por favor me ajude
Krishna Chikkala

@KrishnaChikkala: o primeiro é certamente uma redução de Turing . Como não achei tão claro, decidi publicar uma versão estendida no meu blog . Se você quiser dar uma olhada (e me diga por e-mail se você acha que pode ser melhorado). Observe também que as reduções de Turing são diferentes de muitas reduções (que são reduções "mais fortes"); na verdade, a resposta de Joe Bebel prova que essa redução não pode existir.
Marzio De Biasi

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Esta foi uma pergunta divertida de se pensar. Conforme descrito na outra resposta e nos comentários abaixo, há uma redução de Turing do problema de Halting para computar a complexidade de Kolmogorov, mas notavelmente não existe uma redução de tantas, pelo menos para uma definição de 'computação da complexidade de Kolmogorov'.

Vamos definir formalmente o que estamos falando. Deixe denotar o idioma padrão de TM que parada quando é dada uma descrição de si mesmos como entrada. Vamos K O denotam { x , k | x  tem Kolmogorov complexidade exatamente  k } .HALTKO{x,kx has Kolmogorov complexity exactly k}

Suponha que por alguma redução de muitos. Seja f : { 0 , 1 } { 0 , 1 } denotar a função que essa redução calcula. Considere a imagem de H A L T sob f , que eu denotarei f ( H A L T ) .HALTKOf:{0,1}{0,1}HALTff(HALT)

Nota é composto por cordas da forma x , k onde x tem complexidade de Kolmogorov exactamente k . Eu afirmo que os ks que ocorrem em f ( H A L T ) são ilimitados, pois há apenas um número finito de cadeias com a complexidade de Kolmogorov exatamente k , e f ( H A L T ) é infinito.f(HALT)x,kxkkf(HALT)kf(HALT)

Como é recursivamente enumerável (também conhecido como Turing-reconhecível em alguns livros), segue-se que f ( H A L T ) é recursivamente enumerável. Combinado com o fato de que os k 's são ilimitada, podemos enumerar f ( H A L T ) até encontrarmos algum x , k com k tão grande como nós queremos; ou seja, não existe uma TM M que na entrada do K produz algum elemento x , k HALTf(HALT)kf(HALT)x,kkMk .x,kf(HALT)

Escreva um novo TM que faça o seguinte: primeiro, calcule | M | usando o teorema da recursão de Kleene. Consulta M com entrada | M | + 1 para obter x , | M | + 1 f ( H A G T ) . Saída x .M|M|M|M|+1x,|M|+1f(HALT)x

Claramente, a saída de M é uma string com complexidade de Kolmogorov, no máximo | M | mas x , | M | + 1 f ( H A G T ) o que é uma contradição.xM|M|x,|M|+1f(HALT)

Eu acredito que você também pode substituir no problema "complexidade Kolmogorov exatamente " por "complexidade Kolmogorov pelo menos k " por pequenas alterações.kk


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Mas e uma redução de Turing?
Sasho Nikolov

Deixe-me jogar fora essa idéia em um comentário, porque ainda não pensei nisso. Deixe os problemas de decisão ser o mesmo, mas a redução é agora uma redução de Turing . Considere o conjunto S de todos x , k K ó tal que existe alguma TM em H A G T que causas R para consultar o K O Oracle em entrada x , k K ó . Eu afirmo que S tem o mesmo k ilimitadoRSx,kKOHALTRKOx,kKOSkpropriedade (isso precisa ser justificado um pouco mais do que estou afirmando) e pode ser usado para construir tais unb x , k unb ilimitados , o que é sempre uma contradição. Rx,k
21815 Joe Bebel

Na verdade, retrai que pode ser usado dessa maneira. Não é tão claro no contexto de redução de Turing. R
21715 Joe

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Alguns lugares afirmam que a complexidade de Kolmogorov é Turing equivalente ao problema de Halting, por exemplo, notas de Miltersen daimi.au.dk/~bromille/DC05/Kolmogorov.pdf . Se isso for verdade, deve haver uma redução de Turing. A propósito, uma redução de Turing da complexidade de Kolmogorov para o Problema da Parada é fácil e dá uma prova diferente de que a parada é indecidível.
Sasho Nikolov

segue dos argumentos dados no link na outra resposta. Na verdade, uma vez que a outra redução é (quase) trivial, temos que H A G T T K S . HALTTKOHALTTKO
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