Não podemos produzir a complexidade de Kolmogorov?

Vamos fixar uma codificação sem prefixo de máquinas de Turing e uma máquina de Turing universal que na entrada (codificada como o código sem prefixo de seguido de ) produza o que produz na entrada (possivelmente ambos correndo para sempre). Defina a complexidade de Kolmogorov de , , como a duração do programa mais curto modo que .$U$$(T,x)$$T$$x$$T$$x$$x$$K(x)$$p$$U(p)=x$

Existe uma máquina de Turing tal que para cada entrada ela produza um número inteiroque é diferente da complexidade de Kolmogorov de , isto é, mas ?$T$$x$$T(x)\le |x|$$x$$T(x)\ne K(x)$$\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$

As condições são necessárias, porque

(a) se $T(x)\not \le |x|$, seria fácil gerar um número que seja trivialmente diferente de $K(x)$ porque é maior que $|x|+c_U$ ,

(b) se $\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)<C$ é permitido, então podemos apenas gerar $0$ (ou alguma outra constante) para quase todos os números, adivinhando "felizmente" o máximo (finitamente muitos números) que avaliam como $0$ (para alguma outra constante) e produzem outra coisa. Podemos até garantir $\limsup_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$ produzindo algo como $2\log n$ para $x=2^n$ .

Observe também que nosso trabalho seria fácil se soubermos que $T(x)$ não é adjetivo, mas pouco se sabe sobre isso, portanto a resposta pode depender de $U$ , embora eu duvide que sim.

Eu sei que as relações são muito estudadas em geral, mas

Alguém já fez uma pergunta semelhante em que nosso objetivo é fornecer um algoritmo que não produza algum parâmetro?

Minha motivação é esse problema http://arxiv.org/abs/1302.1109 .

A questão pode ser reformulada como se $\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} = 0$ , e como Denis aponta nos comentários isso é falso para algumas codificações. Aqui está uma declaração mais fraca e uma tentativa de prova dela que não depende de nenhum detalhe da codificação, mas assumirei uma linguagem binária para simplificar:

Seja $T:\{0,1\}^* \rightarrow \mathbb{N}$ uma função computável que satisfaça $0 \le T(x) \le \vert x \vert$ e $\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{T(x)} = \infty$ . Então $\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} \lt \infty$ . Informalmente, se houver um alvo em torno da complexidade Kolmogorov de cada string que cresça sem limites, nenhuma função computável poderá evitar atingi-lo.

Para ver esta, deixe $n$ ser um aleatório $b$ número de bits, ou seja, $0 \le n \lt 2^b$ e $K(n) \ge b$ . Para todos os b existe $b$um n aleatório $n$. De referir ainda que há um número infinito de valores de $b$ para que $\vert \{T(x) = b\} \vert \ge 2^b$ , esta decorre das condições colocados em $T$ . Agora seja $x$ a $n^{\text{th}}$ menor string, de forma que $T(x) = b$ . É evidente que existe uma constante $c_1$ tal que $K(x) \gt b - c_1$ , porque $K(n) \ge b$ e $n$pode ser calculado a partir de $x$ . E existe uma constante $c_2$ tal que $K(x) \lt b + c_2$ , porque $K(n)$ também é delimitado por cima apenas por uma constante maior que $b$ , e $x$ pode ser calculado a partir de $n$ . Então $\vert K(x) - T(x) \vert \lt c_1 + c_2$ , e temos um número infinito de opções para $b$ (aquelas com uma pré-imagem de cardinalidade de pelo menos $2^b$ ), produzindo um número infinito de valores para $x$ , então terminamos.

Uma implicação é que, para alguns $c \in \mathbb{Z}$ , $T(x) = K(x) + c$ infinitamente frequentemente. Pode-se dizer que não podemos produzir algo que não seja a complexidade de Kolmogorov!

Eu acho que o seguinte funciona. Vou usar $C(x)$ para a complexidade de Kolmogorov

• Dê a $U$ um limite de tempo $t$ (digamos, alguma função exponencial da duração do programa de entrada) e chame o resultado $U^t$ . Se um programa exceder o limite de tempo, $U^t$ entra em um loop infinito.
• Seja $C^t(x)$ o programa mais curto para $x$ em $t$ . Note que $C^t$ é computável.
• Seja $T(x)$ retornado $C^t(x) + 1$ , a menos que esse valor seja igual a $|x|$nesse caso, retorne 0. A menos que $x$ seja a saída do programa vazio, nesse caso, retorne 1.
• Como $C(x) \leq C^t(x)$ , $T(x)$ sempre será diferente de $C(x)$ . A lógica na etapa anterior cuida dos casos extremos.
• $U^t$ funciona como um código para todas as strings, portanto, limita o infinito inferior.