Quando um gráfico admite uma orientação na qual há no máximo uma caminhada?

Considere o seguinte problema:

Entrada: um gráfico simples (não direcionado) . $G=(V,E)$

Pergunta: Existe uma orientação do satisfazendo a propriedade que, para cada existe no máximo um (dirigida) - caminhada? $G$ $s,t \in V$ $s$ $t$

Isso pode ser equivalente a:

Entrada: um gráfico simples (não direcionado) . $G=(V,E)$

Pergunta: Existe uma orientação acíclica de satisfazendo a propriedade de que para cada existe no máximo um caminho (direcionado) - ? $G$ $s,t \in V$ $s$ $t$

Qual é a classe de gráficos para a qual a resposta é "sim"? Esse problema pode ser resolvido em tempo polinomial?

Algumas observações:

Se o gráfico for bipartido, a resposta será "sim".
Se o gráfico tiver um triângulo, a resposta será "não".

A primeira observação segue orientando as arestas de uma partição para outra. A segunda observação é fácil de verificar. Isso me levou a duas suposições incorretas:

A resposta é "sim" se e somente se o gráfico for bipartido. (contraexemplo: o ciclo 5)
A resposta é "sim" se e somente se o gráfico estiver sem triângulo (contraexemplo: o produto cartesiano de uma aresta com o ciclo 5)

graph-theory directed-acyclic-graph

— Austin Buchanan
fonte

É NP-completo por uma redução do não-igual-3SAT. Para ver isso, observe que

$4$
$P$ $P$ $5$ $P$ $5$ $P$

$v$ $k$ $k$ $4$ $4$ $4$ $4$ $4$ $4$ -ciclo, para que esses gadgets possam interagir entre si apenas na orientação de suas bordas e não através da existência de caminhos mais longos.

$4$ $P$ $P$ $5$ $5$

$s$ $t$ $s$ $t$

— David Eppstein
fonte

Obrigado! Eu já havia encontrado o wiki com várias árvores antes. Parece que eles são quase o que eu quero. Uma diferença é que eu não quero a orientação acíclica do triângulo, mas essa é uma árvore múltipla.

— Austin Buchanan

Eu gostaria de citar isso. Você prefere que eu cite de acordo com a resposta de Suresh aqui , ou de alguma outra maneira?

— Austin Buchanan

O método na resposta de Suresh é bom. BTW, re multitrees: a ordem acíclica de um triângulo é aceitável se você estiver pensando nela como a relação binária de uma ordem parcial sem N, mas não para a versão DAG da definição, porque os DAGs devem ser transitivamente reduzido e o triângulo acíclico não é. Então, eu acho que multípedes (como DAGs) são realmente a mesma coisa que na sua pergunta.

— David Eppstein