O que é um bom dicionário de Teoria de Domínio de Categoria?

Ao lidar com as categorias teóricas de domínio (como CPO e CPO), frequentemente desejo um dicionário para o idioma da teoria de categorias na teoria de domínios. $\omega$

Ou seja, dado um conceito, digamos seta mônica, eu poderia procurar no dicionário e ver quais são as caracterizações conhecidas dele nas diferentes categorias de domínio.

Sei que esse desejo é demais para esperar, mas há algum texto ou recurso que o aproxime?

— Ohad Kammar
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Respostas:

O melhor recurso para isso é o capítulo do manual de Abramsky e Jung. Lembro que eles tinham uma tabela que fazia referência cruzada a várias construções e categorias de domínios, com as entradas dizendo se a construção funcionava nessa categoria e quais propriedades ela possuía. No entanto, propriedades de flechas como monóticas tendem a não ter caracterizações terrivelmente escorregadias, porque a disponibilidade de domínios planos tende a garantir que elas geralmente não sejam terrivelmente diferentes de suas contrapartes da teoria dos conjuntos. OTOH, propriedades que fazem algum uso da estrutura da ordem (como ser um par de incorporação-projeção) tendem a ter caracterizações bastante bonitas.

Um ponto menor a ser observado é que, na verdade, existem duas definições de CPO em uso comum! Os consumidores da teoria de domínio (como eu) geralmente preferem trabalhar com cadeias ômega, já que cadeias são objetos bastante concretos; enquanto os produtores da teoria de domínio (como, er, seu orientador) tendem a preferir trabalhar com conjuntos direcionados, que são mais gerais e têm melhores propriedades algébricas. (De improviso, não tenho certeza se restringir a conjuntos direcionados com base contável é equivalente à condição da cadeia ômega.)

Algo que achei muito útil na construção desse tipo de dicionário é trabalhar com a solução de equações de domínio recursivas em alguma categoria de coisas que não são exatamente domínios. Duas boas escolhas são categorias de PERs (por exemplo, em modelos de polimorfismo) e pré-ajustes (por exemplo, para alocação de nomes). Os espaços métricos são outra possibilidade, mas eu os achei muito semelhantes aos domínios para me ajudar a criar intuição.

— Neel Krishnaswami
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Sim, estou familiarizado com o capítulo de Abramsky et al., E em particular a referida tabela. Como você disse, eles descrevem as estruturas fundamentais (produtos, somas, exponenciais, etc.), mas a lista está longe de ser abrangente.

— Ohad Kammar

A questão surgiu em minha mente quando eu estava discutindo várias possibilidades de definição, e precisávamos comparar diferentes conceitos categóricos (várias noções de flechas mônicas, para ser exato). Fiquei um pouco surpreso quando percebi que nossa metodologia era para elaborar rapidamente caracterizações convenientes usando intuição, artigos antigos e qualquer livro que surgisse em nossa mente, especialmente quando as noções não eram noções categóricas tão obscuras. Obviamente, esse método é chamado de "conhecimento" (o que me falta), mas, como programador, senti que poderia haver uma maneira melhor de fazê-lo.

— Ohad Kammar

Ah, e a propósito, em relação ao referido produtor - quantos desses problemas com os DCPOs devem-se ao cronograma da pesquisa? Se você olhar para os modelos originais de Scott do , ele usou redes contínuas, que são ainda mais fortes que os DCPOs (certo?). Em retrospecto, sabemos que as redes contínuas não são a melhor noção e trabalhamos com CPOs ou com qualquer sabor adequado (CPOs apontados ou sobre PERs, etc.). De fato, é aí que toda a vantagem da teoria das categorias se manifesta. Sei que hoje em dia ele está perfeitamente satisfeito em trabalhar com o CPO quando precisamos consumir algo.

λ

$\lambda$

ω

$\omega$

ω

$\omega$

— Ohad Kammar

Você pode consultar Smyth e Plotkin 1982, "Sobre a solução teórica por categoria de equações de domínio recursivo", ou alguns dos artigos de Paul Taylor (eu esqueço referências exatas), ou "Propriedades relacionais de domínios" de Andy Pitts em 1996. Todos esses trabalhos fazem coisas através de caracterizações abstratas de cima para baixo das propriedades necessárias. Eu, achei esses papéis um pouco abstratos demais para mim, até que trabalhei nos detalhes concretos em alguns exemplos. Então eles foram claros!

— Neel Krishnaswami

Markowsky, 1977, Categorias de posets de cadeia completa possui uma boa tabela para algumas variantes de CPOs.

— Ohad Kammar

Não tenho certeza se existe um. No entanto, existem muitos bons livros sobre teoria das categorias e ainda mais conjuntos de notas de aula, de qualidade variável. A Wikipedia também possui muitas informações confiáveis sobre teoria de categorias e teoria de domínio . Outro bom recurso da Internet é o nCatLab , embora ele se concentre mais na teoria das categorias de maior dimensão.

Uma boa referência à teoria de domínio é S. Abramsky, A. Jung (1994). "Teoria do domínio". Em S. Abramsky, DM Gabbay, TSE Maibaum, editores, (PDF). Manual de Lógica em Ciência da Computação. III Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 0-19-853762-X.

Os livros sobre teoria das categorias que eu já vi são:

Awodey, Steve (2006). Teoria das categorias (Oxford Logic Guides 49). Imprensa da Universidade de Oxford. 2ª edição, 2010. Uma boa introdução recente, inclinada para a ciência da computação
Michael Barr; Wells, Charles "Teoria da categoria para ciência da computação". Difícil de obter, isto é, não está disponível na Amazon
Lawvere, William; Schanuel, Steve (1997). Matemática conceitual: uma primeira introdução às categorias. Cambridge University Press. Introdução deliciosa, talvez não profunda o suficiente
Mac Lane, Saunders (1998). Categorias para o matemático de trabalho. Textos de Pós-Graduação em Matemática 5 (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Talvez muito matemático
Pierce, Benjamin (1991). Teoria básica das categorias para cientistas da computação. MIT Pressione. Talvez seja muito básico
Taylor, Paul (1999). Fundamentos Práticos da Matemática. Cambridge University Press. Bastante abrangente; tem uma perspectiva lógica

Outros livros estão disponíveis online, como Toposes, triplos e teorias de Barr & Well e Jiri Adámek, Horst Herrlich e Abstract and Concrete Categories de George E. Strecker - The Joy of Cats . É provável que elas contenham todas as definições necessárias, pelo menos do lado da teoria da categoria.

— Dave Clarke
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Obrigado pela resposta abrangente. No entanto, como você disse, é fácil encontrar material sobre teoria de domínios e teoria de categorias. E, de fato, bastante. Mas esse é o problema, o conhecimento está espalhado por tantas páginas de livros, convenções e anotações, que acessá-lo (mesmo com o Google) se torna não trivial. Acho que a diferença está entre ter uma estante cheia de livros de texto versus um bom livro de referência que apenas cita os relacionamentos e citações.

— Ohad Kammar

Uma abordagem para resolver esse problema para as gerações futuras é escrever seu próprio dicionário de termos conforme você os encontra.

— Dave Clarke

Talvez desenvolva nossa própria versão do ncatlab ?

— Uday Reddy

Que tal perguntar ao seu orientador? Ele inventou uma boa parte da teoria do domínio.

— Andrej Bauer
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risadas Como eu disse acima, o pensamento veio à mente quando estávamos discutindo algumas noções teóricas de categorias em diferentes domínios. Meu pensamento exata foi: certamente deve haver uma maneira melhor do que pedir uma desnatação especialista através de toda a literatura ou simplesmente conjecturas ...

— Ohad Kammar