"Incorporando" um idioma em si

Pergunta Principal / Geral

Seja $L$ uma linguagem. Defina os idiomas $L_i$ com $L_0 = L$ e

L_{i} = {x w y : x y \in L_{i - 1}, w \in L}

$L_i = \{xwy : xy \in L_{i-1}, w \in L\}$ para

i \geq 1

$i \geq 1$ . Considere

. Então, nós repetidamente "incorporar"

para dentro de si para se obter

\hat{L} = ⋃ L_{i}

$\hat{L} = \bigcup L_i$

L

$L$

\hat{L}

$\hat{L}$

Tem foi estudada? Isso tem um nome? $\hat{L}$

Exemplos / Motivação

Conforme solicitado nos comentários por aqui estão alguns exemplos para ilustrar melhor o que $\hat{L}$ é. Então, como ninguém (até agora) parece ter visto essa noção, discutirei minha motivação para analisá-la.

Klaus Draeger me derrotou ao adicionar exemplos. Colocarei esses exemplos nos comentários aqui para aumentar a visibilidade, pois são bons exemplos.

Se $L$ é uma linguagem unária , então $\hat{L} = L^+$ (e, portanto, é regular).

Se $L = {ab}$ , então é o idioma Dyck $\hat{L}$ .

Aqui está uma forma alternativa de pensar em . Dada uma linguagem sobre um alfabeto , jogamos o jogo a seguir. Tomamos qualquer a tentar reduzir para a cadeia vazia removendo repetidamente subwords que estão em . (Aqui, precisamos tomar um pouco de cuidado como tratamos a própria string vazia para garantir que isso seja equivalente à definição acima, mas isso é moralmente correto.) $\hat{L}$ $L$ $A$ $w \in A^*$ $w$ $\epsilon$ $L$

Originalmente eu vim a definir considerando poderes exclusão em palavras. Tome a ser a língua de cubos sobre o binário alfabeto . Em seguida, e podemos considerar o seguinte " -deletion" $\hat{L}$ $L = \{w^3 : w \in A^*\}$ $A = \{a,b\}$ $aaabaabaabbabab \in \hat{L}$ $L$

a (a a b a a b a a b) b a b a b \to a b a b a b \to ϵ .

$a(aabaabaab)babab \to ababab \to \epsilon.$

Observe que nem todas as exclusões funcionarão

(a a a) b a a b a a b b a b a b \to b a a b a a b b a b a b

$(aaa)baabaabbabab \to baabaabbabab$

e estamos presos a uma palavra sem cubo. Então, há uma outra notação de "fortemente -deletable", que, em geral, não coincide com . $L$ $\hat{L}$

Um exemplo final, se na língua de quadrados sobre o binário alfabeto , então é as cordas com tanto um número par de 's e um número par de é. Claramente, essa condição é necessária. Uma maneira de ver isso é suficiente é considerar a exclusão de quadrados e lembrar que cada palavra binária de comprimento 4 ou maior possui um quadrado. Aqui é regular. $L$ $A = \{a,b\}$ $\hat{L}$ $a$ $b$ $\hat{L}$

Para alfabetos maiores, esse tipo de argumento falha, pois há palavras arbitrariamente longas e livres de quadrados . Com alfabetos de tamanho eu posso mostrar não é regular usando Myhill-Nerode eo fato existem arbitrariamente palavras longas quadrados livres, mas eu não tenho sido capaz de dizer muito mais. Eu esperava que olhá-lo dessa maneira mais abstrata pudesse lançar alguma luz sobre a situação (e essa definição mais abstrata parece interessante por si só). $k \geq 3$ $\hat{L}$

reference-request fl.formal-languages

— John Machacek
fonte

Você pode dar alguns exemplos ilustrativos?

— Phs

Alguns exemplos: se

é a língua singleton

, então

é a língua Dyck de cordas equilibrada de parênteses; para um idioma

sobre um alfabeto Singleton temos

(por isso é sempre regular, neste caso).

L

$L$

{()}

$\{()\}$

\hat{L}

$\hat{L}$

L = {a^{i} | i \in I}

$L=\{a^i|i\in I\}$

\hat{L} = L^{+}

$\hat{L}=L^+$

— Klaus Draeger

@phs Modifiquei a pergunta com (muito) mais detalhes.

— precisa

Um dos resultados mais relativamente simples é que, se

é livre de contexto, então é assim

L

$L$

\hat{L}

$\hat{L}$

— Klaus Draeger

Obrigado pelos exemplos e motivação. Agora é muito mais fácil lembrar-se do seu problema e contorná-lo. Continue atualizando sua pergunta original se você tiver novos desenvolvimentos.

— Phs

Esta questão está relacionada aos chamados sistemas de inserção .

Um sistema de inserção é um tipo especial de sistema cujas regras são da forma reescrever para todo em uma dada língua . Vamos escrever , se e por algum . Vamos denotar por o fechamento transitivo reflexivo da relação . O encerramento de uma língua de $1 \rightarrow r$ $r$ $R$ $u \rightarrow_R v$ $u = u'u''$ $v = u'ru''$ $r \in R$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$ $\rightarrow_R$ $L$ em é o idioma Lembre-se de que umaordem quase-boaem um conjunto é um reflexo e relação transitiva tal que para qualquer sequência infinita dos elementos de $A^*$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$

[L]_{{\overset{*}{\to}}_{R}} = {v \in A^{*} ∣ there exists u \in L such that u {\overset{*}{\to}}_{R} v}

$[L]_{\buildrel{*}\over\rightarrow_R} = \{ v \in A^* \mid \text{ there exists $u \in L$ such that $u \buildrel{*}\over\rightarrow_R v$} \}$

E

$E$

⩽

$\leqslant$

x_{0}, x_{1}, \dots

$x_0, x_1, \ldots$

E

$E$ , Existem dois números inteiros

de tal modo que

. O seguinte teorema é provado em [1]:

i < j

$i < j$

x_{i} ⩽ x_{j}

$x_i \leqslant x_j$

Se é um conjunto finito de palavras de tal modo que a língua é finito, então a relação é um bem quase-fim em e é regular. $H$ $A^* \setminus A^*HA^*$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$ $A^*$ $[L]_{\buildrel{*}\over\rightarrow_R}$

[1] W. Bucher, A. Ehrenfeucht e D. Haussler, Sobre reguladores totais gerados por relações de derivação, Theor. Comput. Sci. 40 , 2-3 (1985), 131- 148.

— J.-E. PIN
fonte

Como J.-E. Pin apontou que minha pergunta trata da inserção . Encontrei outra fonte que postarei aqui para qualquer pessoa interessada.

L.Kari. Sobre inserção e exclusão em idiomas formais. Ph.D. Tese, Universidade de Turku, 1991.

Aqui estão as partes I e II da tese.

Pelo que posso dizer, esta é a fonte original para o estudo da inserção.

— John Machacek
fonte