Número de vértices presentes em todas as correspondências máximas

Dado um gráfico , precisamos encontrar a cardinalidade do maior conjunto de vértices para que cada um deles esteja presente em todas as correspondências máximas possíveis. $G$

Existe uma solução ao lado do óbvio remover cada vértice e encontrar a correspondência máxima para ver que ela reduz?

graph-theory graph-algorithms

— Hououin Kyouma
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Não vejo como o que você sugeriu é uma solução.

$\:$ (Considere um triângulo.)

$\hspace{1.4 in}$

@ RickyDemer, primeiro encontramos a correspondência máxima no gráfico inteiro. Em seguida, removemos um vértice e encontramos a correspondência máxima novamente. Se a diferença for 1, podemos dizer que esse vértice está presente em todas as correspondências máximas.

— evil999man

"Encontrar a correspondência máxima" deve ser substituído por "Encontrar uma correspondência máxima" ou "Encontrar todas as correspondências máximas"?

$\;$

Eu acho que deve ser substituído pelo tamanho da correspondência máxima.

— evil999man

@Impressionante está certo. Vou editar minha pergunta.

— Hououin Kyouma

Respostas:

$O(n^3)$

— Thomas Kalinowski
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Eu preciso apenas do tamanho, não dos próprios vértices. Isso pode ser feito em O (n ^ 2)? E obrigado pelo papel

— Hououin Kyouma

$v$

Ao fazer duas pesquisas de amplitude ou profundidade, uma para encontrar as partes do gráfico que podem ser alcançadas a partir de vértices não correspondentes e a outra para encontrar as partes que podem alcançar vértices sem correspondência, você pode encontrar os vértices essenciais em tempo linear, depois de já tem a correspondência.

Provavelmente algo assim também funcionará para o caso não bipartido, usando uma pesquisa de caminho alternativo que contrai a flor, mas os detalhes serão mais complicados.

— David Eppstein
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Estou curioso para saber como você faria isso em um gráfico geral. Você poderia explicar isso?

— evil999man

Se eu já tivesse trabalhado em detalhes, teria incluído na minha resposta. Mas, basicamente, você só deseja encontrar os vértices que podem ser alcançados alternando caminhos de vértices não alcançados, pois esses são os que poderiam ser deixados sem correspondência. A pesquisa de caminho alternativo deve ser praticamente a mesma que você usa para encontrar a correspondência em primeiro lugar.

— David Eppstein

Desculpe pelo comentário tardio. Meu gráfico é geral. Vou tentar pensar através do método

— Hououin Kyouma