Complexidade da localização em redes sem fio

Deixe pontos distintos sentar em R 2 . Dizemos pontos i e j são vizinhos se | i - j | < $1 ... n$$\mathbb{R}^2$$i$$j$ , significando que cada ponto é vizinho de pontos com índices dentro de 2 , contornando.$|i-j| < 3 \pmod{n-2}$$2$

O problema é:

Para cada par de vizinhos, são dadas suas distâncias aos pares (e sabemos qual distância corresponde a quais pontos), e queremos reconstruir as distâncias aos pares de todos os pontos. Minhas perguntas são: qual é a complexidade desse problema de localização?

Não conheço um algoritmo de tempo polinomial.

Isso é motivado por problemas na localização em redes de sensores , onde os agentes, colocados ad-hoc, podem se comunicar sem fio com seus vizinhos lexicográficos, e queremos reconstruir suas posições.

Não sei muito sobre problemas de geometria / localização, portanto isso pode ser fácil ou conhecido. O problema mais próximo que conheço é o problema do Turnpike , apontado recentemente neste fórum por @Suresh Venkat.

(Eu não tenho uma resposta real, mas isso foi muito longo para um comentário, portanto, poste aqui de qualquer maneira ...)

Eu suspeito que o problema é NP-difícil, por redução do problema da soma do subconjunto. Uma ideia de prova:

Redução: se o ésimo elemento na instância da soma do subconjunto for x i , a distância entre os nós 2 i - 1 e 2 i é s , distância entre 2 i - 1 e 2 i + 1 é x i , distância entre 2 i e 2 i + 2 também é x i , e a distância entre 2 i e 2 i + 1 é$i$$x_i$$2i-1$$2i$$s$$2i-1$$2i+1$$x_i$$2i$$2i+2$$x_i$$2i$$2i+1$ .$\sqrt{s^2 + x_i^2}$

$2i-1$$2i$$i$$2i+2$$2i$$2i$$n = 2k$$2$$2k-1$$1$$2k-1$$2$

$s$$2k$$x_i$

Na verdade, é NP-difícil. Veja o documento a seguir para referências.

Sriram V. Pemmaraju, Imran A. Pirwani: Realização virtual de boa qualidade de gráficos de esferas unitárias. SEC 2007: 311-322

Drineas et al. escreveu o artigo Reconstrução da matriz de distância a partir de informações de distância incompletas para localização de rede de sensores . Mas o que eles alcançam provavelmente não é exatamente o que você solicita: eles calculam todo o mapa de distância de um mapa incompleto, mesmo na presença de ruído e falhas nos nós.