Por que a melhoria Odlyzko do algoritmo de Shor reduz o número de tentativas para

Em seu artigo de 1995, Algoritmos de tempo polinomial para fatoração primária e logaritmos discretos em um computador quântico , Peter W. Shor discute uma melhoria na parte de busca de pedidos de seu algoritmo de fatoração. As saídas algoritmo padrão , um divisor de ordem de módulo . Em vez de verificar se verificando se , a melhoria é a seguinte: $r'$ $r$ $x$ $N$ $r'=r$ $x^{r'}\equiv 1 \mod N$

[F] ou um candidato $r$ deve considerar não apenas $r ′$ mas também seus pequenos pequenos $2r ′ , 3r ′ , \dots$ , para ver se essa é a ordem real de $x$ . [...] essa técnica reduzirá o número esperado de tentativas para o mais difícil $n$ de $O(\log \log n)$ para $O(1)$ se o primeiro ( $\log n)^{1+\epsilon}$ múltiplos de $r ′$ São considerados [Odylzko 1995].

A referência a [Odylzko 1995] é uma "comunicação pessoal", mas eu não estava presente quando Peter Shor e Andrew Odlyzko discutiram isso ... Eu entendo perfeitamente por que é uma melhoria, mas não sei como mostrar o número dos ensaios é reduzido para $O(1)$ . Você conhece alguma prova disso?

quantum-computing nt.number-theory factoring

— Frédéric Grosshans
fonte

O que o algoritmo faz? Essencialmente, é necessário

r

$r$ e um

aleatório

ℓ \leq r

$\ell \leq r$ e gera

r^{'} = r / g c d (ℓ, r)

$r' = r/gcd(\ell,r)$ . portanto, se você marcar todos os pequenos múltiplos de

r^{'}

$r'$ , é muito provável que

r

$r$ seja um deles. Por que

(\log n)^{1 + ϵ}

$(\log n)^{1+\epsilon}$ fornece

O (1)

$O(1)$ ? Essa é a teoria dos números. Andrew Odlyzko é um teórico dos números e eu o consultei sobre esse problema, mas esqueci completamente sua justificativa para isso.

— 266 Peter Shor Shor

Obrigado! Parece que eu preciso procurar um teórico dos números!

— Frédéric Grosshans

Você pode tentar o MathOverflow .

— Kaveh

Estou pensando sobre isso. Provavelmente vou reformular isso de uma maneira mais "teórica dos números" para isso, se não receber a resposta em breve. Eu acho que pode ser reformulado como uma soma de funções totientes.

— Frédéric Grosshans

@ Kaveh: A pergunta relacionada no MathOverflow , fazendo uma pergunta relacionada à teoria dos números, que eu acho que é equivalente.

— Frédéric Grosshans