A complexidade de encontrar um ponto de Borsuk-Ulam

O teorema de Borsuk-Ulam diz que para cada função ímpar contínua $g$ de uma esfera n para o espaço n euclidiano, existe um ponto $x_0$ tal que $g(x_0)=0$ .

Simmons e Su (2002) descrevem um método para aproximar o ponto $x_0$ usando o lema de Tucker . No entanto, não está claro qual é a complexidade do tempo de execução do método.

Suponha que recebamos um oráculo para a função $g$ e um fator de aproximação $\epsilon>0$ . Qual é a complexidade do tempo de execução (em função de $n$ ) de:

1. Encontrando um ponto $x$ tal $|g(x)|<\epsilon$ ?
2. Encontrando um ponto $x$ tal que o $|x-x_0|<\epsilon$ , quando $x_0$ é um ponto que satisfaz $g(x_0)=0$ ?

Papadimitriou mostrou que uma versão desse problema está completa no PPAD no artigo que apresenta essa classe, "Sobre a complexidade do argumento de paridade e outras provas ineficientes da existência" .

Sua formulação do problema é:

Borsuk-Ulam. Dado um número inteiro n e uma máquina de Turing computando para cada ponto com - n ≤ x i ≤ n e max | x i | = n (a superfície da esfera L 1 ), uma função f ( p ) com f ( p ) $P=(x_1,\dots,x_d)$$-n\leq x_i\leq n$$\max_{|x_i|}=n$$L_1$$f(p)$ . Encontre umxcom| f(x)-f(-x)| $f(p) \leq \frac{1}{Kn}$$x$$|f(x) - f( - x)| \leq \frac{1}{n^2}$ .

(Sidenote - muitas vezes quando você vê um tipo de teorema de ponto fixo, o PPAD é um bom palpite para a complexidade de encontrá-lo ...)

Como o oráculo é dado e o que sabemos sobre ? Se o oráculo é caixa preta e sabemos apenas que g é ímpar contínuo, então já para n = $g$$g$$n=1$ podemos exigir infinitas perguntas ...

Se o oráculo é dado por alguma máquina de Turing, você percebe que seu problema é

1. FIXP-complete,

2. PPAD-completo,

onde o tamanho da entrada é comprimento de . Para obter uma introdução, consulte http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/dagstuhl14-etessami-tutorial-equilibrium.pdf .$\epsilon$