Número limitado de ocorrências variáveis no SAT 1 em 3

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Existe um resultado conhecido na classe de complexidade 1-em-3-SAT com número restrito de ocorrências variáveis?

Eu propus a seguinte redução parcimoniosa com Peter Nightingale, mas quero citar algo, se isso for conhecido.

Aqui está o truque que criamos. Isso mostra que 1-em-3-SAT limitado a 3 ocorrências por variável é NP completo e #P completo (já que 1-em-3-SAT é) , enquanto 3-SAT limitado a 3 ocorrências está em P

Digamos que temos mais de três ocorrências de x. Digamos que precisamos de 6. Em seguida, apresentaremos 5 novas variáveis x2 a x6 equivalentes a x e duas novas variáveis d1 e d2 garantidas como falsas com as 6 novas cláusulas a seguir:

x  -x2 d1
x2 -x3 d1
x3 -x4 d1
x4 -x5 d2
x5 -x6 d2
x6 -x  d2

Obviamente, substituímos cada ocorrência de x após a primeira por xi para alguns i. Isso fornece três ocorrências de cada xi e d.

O acima define cada di como false e todo o xi com o mesmo valor. Para ver isso, x precisa ser verdadeiro ou falso. Se for verdade, a primeira cláusula define x2 true e d1 false, e então isso se propaga pelas classes. Se x é falso, a última cláusula define x6 falso e d2 falso e propaga as cláusulas. É obviamente muito parcimonioso, portanto, preserva a contagem.

reference-request sat reductions

— Ian Gent
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Até onde eu sei, os atuais "limites" foram estabelecidos em:

Stefan Porschen, Tatjana Schmidt, Ewald Speckenmeyer, Andreas Wotzlaw: XSAT e NAE-SAT das classes lineares de CNF. Matemática Aplicada Discreta 167: 1-14 (2014)

Veja também a Tese de Schmidt: Complexidade Computacional de SAT, XSAT e NAE-SAT para fórmulas lineares e mistas de CNF de Horn

$k$ $CNF^l_+$ $k$ $CNF^l$ $k, l \geq 3$

$3$ $CNF^3$ $l=3$

$CNF_+$

— Marzio De Biasi
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C N F_{+}

$CNF_+$

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(Entendo que esta deve ser uma resposta tardia; estou escrevendo para futuros leitores)

Há um resultado sempre mais forte na literatura.

A satisfação 1-em-3 positiva planar cúbica é comprovada como NP-completa em Moore e Robson, problemas de ladrilhos rígidos com ladrilhos simples . (Dizem 'monótono' em vez de 'positivo'. Ver nota adicionada finalmente)

O resultado mencionado é mais forte que o resultado da tese de Schmidt, porque aqui o gráfico da fórmula está restrito a ser plano. (A condição é de fato mais forte: eles fornecem um tipo particular de incorporação chamado incorporação retilínea)

$G_B$ $B=(X,C)$ $X\cup C$ $E:= \{ x_iC_j\ :\$ $x_i$ $C_j$ $\}$ $X$ $C$

$B=(X,C)$ $X$ $C$ $X$ $G_B$ $B$
$X$ $C$

Observe que cada cláusula contém exatamente 3 variáveis distintas e cada variável aparece em exatamente 3 cláusulas.

Veja a tese de Tippenhauer sobre Planar 3-SAT e suas variantes (2016) para variantes sat que restringem o número de ocorrências variáveis.
Nota: existem algumas variantes descobertas após a publicação desta tese.

Nota adicionada: O resultado de Moore e Robson provou que a satisfação 1-em-3 positiva cúbica planar cúbica é NP-completa. (Ou seja, a fórmula booleana não é apenas monótona, é positiva (ou seja, nenhum literal negado)). Infelizmente, em muitos trabalhos anteriores, o termo "monótono" foi usado para significar "positivo". A redução de Moore e Robson não introduz literais negados. Sua redução é da satisfação 1-em-3 planar 'monótona' do artigo de Laroche A satisfação 1-em-3 planar é NP-completa . Não consegui entender este artigo, mas provavelmente Laroche também quis dizer positivo dizendo 'monótono'. Mesmo se ele não quis dizer isso, podemos usar a Satisfação Planar Positiva 1 em 3 de Mulzer e Rote. como o problema de origem.

Veja esta resposta para uma pergunta em cs.se

— Cyriac Antony
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