O gráfico infinito de diagonais possui um componente infinito?

14

Suponha que conectemos os pontos de usando o conjunto de arestas não direcionadas modo que esteja conectado a ou está conectado a , independentemente e uniformemente de forma aleatória para todos os . $V = \mathbb{Z}^2$ $E$ $(i, j)$ $(i + 1, j + 1)$ $(i + 1, j)$ $(i, j + 1)$ $i, j$

(Inspirado no título e na capa deste livro .)

Qual é a probabilidade de esse gráfico ter um componente conectado infinitamente grande? Da mesma forma, considere , o complemento da incorporação planar do gráfico. Qual é a probabilidade de o complemento ter um componente infinito conectado? $\mathbb{R}^2 \setminus G$

Claramente, se todas as diagonais apontam da mesma maneira, o gráfico e seu complemento têm um componente infinito. Que tal um gráfico aleatório uniforme do tipo acima?

graph-theory

— Mathias Rav
fonte

2

AFAICS, o gráfico duplo de qualquer gráfico planar está conectado. Portanto, sua segunda pergunta é realmente se o gráfico duplo é infinito? Ou você está falando de uma noção diferente de gráficos duplos?

— Emil Jeřábek apoia Monica

2

Quanto à finitude: enquanto os ciclos estão notavelmente ausentes da ilustração que inspira essa pergunta, o número esperado é infinito (para cada , as arestas nos quadrados formam um ciclo com probabilidade , independentemente).

i, j

$i,j$

(2 i, 2 j), (2 i, 2 j + 1), (2 i + 1, 2 j), (2 i + 1, 2 j + 1)

$(2i,2j),(2i,2j+1),(2i+1,2j),(2i+1,2j+1)$

1 / 16

$1/16$

— Klaus Draeger

@ EmilJeřábek Desculpe, não quero dizer dual no sentido clássico - editei para esclarecer que quero dizer o complemento da incorporação planar.

— Mathias Rav

9

A probabilidade é 0.

Isso se segue do seguinte teorema (consulte o Teorema 5.33 em Probabilidade de Grimmett em Gráficos, http://www.statslab.cam.ac.uk/~grg/books/USpgs-rev3.pdf ):

Teorema Considere a percolação da ligação em , onde cada aresta entre os pontos da rede é aberta com probabilidade . A probabilidade de a origem estar em um componente conectado infinito é 0. $\mathbb Z^2$ $\frac12$

Podemos reduzir do nosso problema para esse problema: basicamente são apenas duas cópias disjuntas (mas dependentes) da percolação de vínculo em . Considere a configuração qual as arestas formam uma malha infinita de diamantes contendo a origem. Se todas as arestas, obteremos outra treliça infinita de diamantes . Considere a interseção da configuração real com e com . Cada um deles é exatamente o modelo de percolação de ligações em , apenas girado . A probabilidade de que qualquer ponto esteja no cluster infinito é, portanto, 0 (Nenhuma aresta em pode ser conectada a uma aresta em .). $\mathbb Z^2$ $D_1$ $D_2$ $D_1$ $D_2$ $\mathbb Z^2$ $45^{\circ}$ $D_1$ $D_2$

Para concluir, observe que a soma de um número contável de eventos com probabilidade 0 tem probabilidade 0; soma sobre a probabilidade de que qualquer ponto de rede esteja em um cluster infinito.

(A existência de componentes arbitrariamente grandes é um arenque vermelho. Deve-se fixar um ponto e perguntar se ele está em um componente ilimitado.)

— Holden Lee
fonte

Se fixarmos a origem e perguntarmos se ele está em um componente ilimitado, podemos desconsiderar todas as arestas em

e permaneceremos com uma única instância de percolação de ligação em

com as arestas em . Uma ilustração útil é Bollobás e Riordan 2008, Figura 2 , girados 45 graus.

D_{2}

$D_2$

Z^{2}

$\mathbb{Z}^2$

D_{1}

$D_1$

— Mathias Rav

2

Hmm, bem, aqui está uma primeira tentativa. Vamos observar duas coisas importantes:

Se este gráfico tiver um componente conectado infinitamente grande, pelo lema infinito de König, ele terá um caminho infinito e simples.
O evento em que o gráfico possui um caminho simples e infinito é independente de cada opção individual de orientação da aresta (e, portanto, de cada conjunto finito de opções de arestas). Portanto, é um evento de cauda e, pela lei zero-um de Kolmogorov, a probabilidade é zero ou um.

Então, é zero ou um? Não está claro de imediato, embora possamos adivinhar, pois pelo teorema "macacos infinitos com máquinas de escrever", esse gráfico contém caminhos simples de comprimento arbitrariamente grande com probabilidade 1. Certamente, é necessário mais para provar rigorosamente que ele realmente tem um caminho infinito com probabilidade.

— Joe Bebel
fonte

3

Também é uma boa idéia observar 0. O evento em que o gráfico tem um componente infinito conectado é Borel, portanto mensurável, portanto a questão faz sentido em primeiro lugar. (Isto não é óbvio quando reapresentadas com caminhos simples infinitas.)

— Emil Jerabek suporta Monica

1

Aqui estão algumas evidências empíricas fracas de que a resposta é sim. Seja um gráfico aleatório na rede definida escolhendo cada diagonal aleatoriamente. Aqui está um gráfico das estimativas de probabilidade de alcançabilidade vs. (ignorando os vértices que são sempre inacessíveis devido à paridade). $G_n$ $2n+1 \times 2n+1$ $n$

Se redimensionarmos o quadrado para , a probabilidade parece convergir para uma função suave independente da escala, o que significaria ainda mais: que a probabilidade da origem atingir o infinito é positiva. $[0,1]^2$

No entanto, também é possível que eu não tenha calculado o suficiente para ver a tendência de queda (o gráfico parece um pouco menor que os outros). $n = 800$

Código aqui: https://gist.github.com/girving/16a0ffa1f0abb08934c2

— Geoffrey Irving
fonte

1

Atualização: Como apontado nos comentários, o lema não implica caminhos infinitos, afinal, portanto, esta resposta geral está errada. Não tenho certeza se pode ser usado de outra maneira probabilística.

A resposta é sim: existe um caminho infinito. De fato, existe um caminho infinito para cada gráfico; probabilidade não é necessária.

$G$ $n \times n$ $n \ge 2$

$G$

Se o lema é verdadeiro, a versão infinita segue König, como observado por Joe. ( Atualização: Errado, veja comentários)

— Geoffrey Irving
fonte

2

(- n, 0)

$(-n, 0)$

(0, n)

$(0, n)$

(0, n)

$(0, n)$

(n, 0)

$(n, 0)$

(n, 0)

$(n, 0)$

(0, - n)

$(0, -n)$

(0, - n)

$(0, -n)$

(- n, 0)

$(-n, 0)$

n > 0

$n > 0$

É verdade que Koenig não se aplica, afinal.

— Geoffrey Irving

2

Especificamente, acredito que o lema ainda se mantém, mas é claro que não implica o resultado desejado.

— Geoffrey Irving