Problemas de complexidade de comunicação com distância linear

Existe alguma complexidade aleatória de comunicação aleatória (não trivial) conhecida para os problemas de gap natural nos quais as entradas 1 estão linearmente distantes das entradas 0? Ou seja, funções parciais modo que a distância de Hamming entre cada e é linear - e que requer protocolos aleatórios para se comunicar (digamos) bits? $f:\{0,1\}^{2n} \to \{0,1,*\}$ $(x,y) \in f^{-1}(1)$ $(x',y') \in f^{-1}(0)$ $f$ $\Omega(\sqrt{n})$

(Por exemplo, o problema Gap-Hamming-Distance tem uma distância de , enquanto eu estou procurando a distância ; onde se e se .) $2\sqrt{n}$ $\Omega(n)$ $GHD(x,y) = 1$ $HD(x,y) \ge n/2 + \sqrt{n}$ $GHD(x,y) = 1$ $HD(x,y) \le n/2 - \sqrt{n}$

Edit : Como apontado por Igor, qualquer predicado de complexidade de comunicação pode ser transformado em um problema de distância linear, exigindo que as entradas sejam codificadas por um bom código. O que me interessa, porém, é se existem problemas na literatura, nos quais a distância linear ocorre de maneira natural (como a distância no problema Gap-Hamming-Distance).

reference-request communication-complexity

— Anônimo
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Algo como o Problema de Correspondência Oculta Booleana se encaixaria na conta? Requer bits de comunicação (unidirecional, aleatória) e parece que tem uma distância linear entre as - e .

Ω (\sqrt{n})

$\Omega(\sqrt{n})$

yes

$\textsf{yes}$

no

$\textsf{no}$

— Clement C.

(ou quase linear, acho, uma vez que a entrada inclui a matriz correspondente )

M

$M$

— Clement c

Obrigado Clement! Esse é precisamente o tipo de problema que eu estava procurando!

— Anônimo

Outro problema - embora no modelo SMP / árbitro - é basicamente Distância de Hamming com gap linear em (embora as entradas tenham tamanho vez de ). Veja Bavarian, Gavinsky e Ito '15 , mais precisamente Definição 1.9 e Teorema 1.8 (junto com o Fato 1.4): a complexidade da comunicação de no modelo SMP com aleatoriedade privada é .

n

$n$

x, y

$x,y$

n \log n

$n\log n$

n

$n$

{G a p I P}_{n}

$\mathsf{GapIP}_n$

\tilde{Ω} (\sqrt{n})

$\tilde{\Omega}(\sqrt{n})$

— Clement C.

Respostas:

Seja um erro ao corrigir código com distância linear. Seja seja uma função cuja complexidade de comunicação aleatória seja grande (digamos, $C:\{0,1\}^{n} \to \{0,1\}^{2n}$ $g: \{0,1\}^{n} \times \{0,1\}^{n} \to \{0,1\}$ ou. $\Omega(\sqrt{n})$ $\Omega(n))$

Defina para ser a função parcial que nas palavras de código de gera e gera $f: \{0,1\}^{2n} \times \{0,1\}^{2n} \to \{0,1,*\}$ $C$ $f(x,y) = g(C^{-1}(x),C^{-1}(y))$ $*$ Se pelo menos um de não é em . $x,y$ $C$

Claramente, a complexidade de comunicação é igual à complexidade comunicação de , e satisfaz a propriedade de que para cada duas entradas diferentes em que Saídas 0 ou 1, a distância entre eles é linear. $f$ $g$ $f$ $f$

— Igor Shinkar
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Obrigado Igor. Embora, desnecessário dizer, o problema que você descreve tenha uma distância linear - estou procurando problemas nos quais a lacuna ocorre naturalmente (é em GHD), e não artificialmente (codificando as entradas). Existem problemas na literatura?

— Anônimo

Como mencionado em um comentário acima, o Problema de Correspondência Oculta Booleano introduzido e estudado em [BJK04, KR06] parece (quase) atender a sua exigência. O tamanho da entrada é aproximadamente (como uma entrada é do formato , onde é uma matriz muito esparsa que pode ser codificada com $n\log n$ $(x,M,w)\in\{0,1\}^{2n}\times\{0,1\}^{n\times 2n}\times \{0,1\}^{2n}$ $M$ bits); e - e instâncias do problema da promessa têm distância , $n\log n$ $\textsf{yes}$ $\textsf{no}$ $\Theta(n)$

A complexidade de comunicação aleatória unidirecional do é $\textsf{BHM}_n$ , como mostrado em [KR06]. $\Omega(\sqrt{n})$

[BJK04] Ziv Bar-Yossef, TS Jayram, Iordanis Kerenidis. Separação exponencial da complexidade quântica e clássica da comunicação unidirecional, Proceedings of ACM STOC 2004
[KR06] Iordanis Kerenidis, Ran Raz. A complexidade da comunicação unidirecional do problema de correspondência oculta booleana. Colóquio Eletrônico sobre Complexidade Computacional (ECCC) 13 (087) (2006)

— Clemente C.
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