Digrafo equivalente mínimo em relação às fontes e sumidouros

Dado um DAG (dirigido gráfico acíclico) , com fontes e pias . Encontre um DAG , com as fontes e os dissipadores , com número mínimo de arestas, de modo que: $D$ $S$ $T$ $D'$ $S$ $T$

Para todos os pares existe um caminho de para em se e somente se houver um caminho de para em . $u \in S, v \in T$ $u$ $v$ $D$ $u$ $v$ $D'$

Uma aplicação disso é representar uma família definida por um DAG. Para tal representação, cada fonte é uma variável no universo e cada coletor é um conjunto na família de conjuntos, e um elemento u está em um conjunto S se e somente se houver um caminho do vértice representando u para o vértice representando o defina S.

Esse problema é bem conhecido? Existe um algoritmo polinomial para esse problema?

graph-theory graph-algorithms

— Martin Vatshelle
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Eu acho que a solução deve ser um subgrafo do gráfico original, certo? Se sim, acho que esse problema captura a tampa do conjunto, através da redução padrão que mostra que a árvore do Steiner Steiner é difícil: crie um vértice para cada elemento, um vértice para cada conjunto e uma aresta direcionada (S, u) se o conjunto S contém o elemento u. Em seguida, adicione um novo vértice e arestas a todos os vértices definidos. Existe um caminho desse novo vértice para todos os sumidouros (o elemento vértices). Para preservar todos eles, precisamos selecionar o número mínimo de vértices definidos que cubram todos os elementos.

— Michael Lampis

Não, em geral, eu diria que não deve ser um subgrafo do gráfico original. As origens são elementos e você precisa do elemento se e somente se algum conjunto contiver esse elemento. Os coletores são conjuntos e você não pode excluir os conjuntos que você deve representar, portanto, a única coisa que se pode fazer se começar a partir do gráfico ingênuo em que todos os nós são coletores ou fontes é adicionar vértices e mover / excluir arestas.

— Martin Vatshelle

O problema ainda não parece bem definido. Quais são as restrições no conjunto de vértices de ? Você precisa que o conjunto de vértices de seja o mesmo que o conjunto de vértices de ? Que as fontes e sumidouros de são as mesmas que as fontes e sumidouros de ? Que existe uma função mapeando um vértice de para um vértice de , e a condição é realmente que existe um caminho de para em se houver um caminho de a em

D^{'}

$D'$

D^{'}

$D'$

D

$D$

D^{'}

$D'$

D

$D$

f : V_{D} \to V_{D^{'}}

$f:V_D \to V_{D'}$

D

$D$

D^{'}

$D'$

u

$u$

v

$v$

D

$D$

f (u)

$f(u)$

f (v)

$f(v)$

D^{'}

$D'$ ? Cada um pode levar a um problema ligeiramente diferente. Edite a pergunta para esclarecer?

— DW

Esclarei a questão, na verdade quero dizer que as fontes e sumidouros são os mesmos. Eu acho que o mapeamento está bem próximo do mesmo, a única maneira de mapear dois sumidouros para o mesmo nó é se eles puderem ser acessados pelo mesmo conjunto de fontes, ou seja, representa o mesmo conjunto. A única maneira de mapear duas fontes para o mesmo nó é se elas atingirem exatamente os mesmos coletores. Então, acho que depois de um simples pré-processamento de D os problemas seriam equivalentes.

— Martin Vatshelle 28/08/2015

O dag D é realmente irrelevante para o problema, não é? Você também pode pegar um gráfico bipartido entre S e T como entrada.

— Emil Jeřábek 3.0 de

Vamos supor que contenha apenas fontes e sumidouros, já que a entrada pode ser convertida em uma entrada equivalente facilmente. $D$

Em seguida, observe que, em qualquer solução para , cada vértice corresponde a uma biclique no gráfico não direcionado subjacente de (a biclique entre todas as fontes que atingem em e todos os sumidouros alcançados de em ). $D'$ $D$ $v$ $G$ $D$ $v$ $D'$ $v$ $D'$

Conjeturo que, se é óptima, em seguida, ela contém um vértice de corte que 1: 1 corresponde a uma óptima cobertura biclique de . Então, qualquer mínimo vértice de corte em corresponde a uma óptima cobertura biclique em . No entanto, como a BICLIQUE COVER (também conhecida como BIPARTITE DIMENSION) é NP-completa, é improvável que seu problema admita um algoritmo de tempo polinomial, a menos que minha conjectura falhe. $D'$ $G$ $D'$ $G$

Observe que, mesmo que minha conjectura seja válida, tecnicamente esse argumento não prova a dureza NP do seu problema, pois a redução não é uma redução de Karp, mas de Cook.

— igel
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