Se é um gráfico d- regular não direcionado e S é um subconjunto dos vértices da cardinalidade ≤ | V | / 2 , chame a expansão de borda de S a quantidade
Onde é o número de arestas com uma extremidade em um e um ponto de extremidade em B . O problema de expansão da borda é encontrar um conjunto S com | S | ≤ | V | / 2 que minimiza ϕ ( S ) . Chame ϕ ( G ) a expansão de um conjunto ideal.
O algoritmo de particionamento espectral para o problema de expansão de borda funciona encontrando um vetor próprio do segundo maior valor próprio de A , a matriz de adjacência de G e considerando todos os `` conjuntos de limites '' S no formato { v : x ( v ) ≤ t } em todos os limites t . Se deixarmos λ 2 ser o segundo maior autovalor da matriz 1, então a análise do algoritmo de particionamento espectral mostra que o melhor conjunto de limitesSSPencontrado pelo algoritmo satisfaz
O que se segue das Desigualdades de Cheeger
e
Qual é o primeiro artigo a fazer tal afirmação? Quais documentos devem ser creditados pelas idéias? Aqui está o que eu tenho:
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N. Alon e VD Milman. , desigualdades isoperimétricas para gráficos e superconcentradores, Journal of Combinatorial Theory, Série B, 1985, 38 (1): 73-88
Prove um resultado no espírito da desigualdade "simples" de Cheeger , mas para expansão de vértice em vez de expansão de borda. Reconheça que a relação entre expansão de borda e valores próprios é a versão discreta de um problema estudado por Cheeger em
J. Cheeger. Um limite inferior para o menor autovalor do Laplaciano. Problemas em Análise, 1970.
- N. Alon. Autovalores e expansores. Combinatorica. 6 (2): 83-96, 1986.
Prova um resultado no espírito da difícil desigualdade de Cheeger mas para expansão de vértice em vez de expansão de aresta.
- A. Sinclair, M. Jerrum. Contagem aproximada, geração uniforme e mistura rápida de cadeias de Markov. Information and Computation 82: 93-133, 1989 (versão para conferência 1987)
Prove as desigualdades de Cheeger, conforme declarado acima. (O artigo deles estuda a condutância_ de cadeias de Markov reversíveis no tempo, o que equivale a uma expansão de borda_ em gráficos regulares.) Eles creditam o trabalho de Alon e Milman e de Alon pelas técnicas. Eles também creditam à Aldous um vínculo relacionado entre tempo de mistura e expansão da borda em gráficos regulares.
- M Mihail. Condutância e convergência de cadeias de Markov - um tratamento combinatório de expansores. FOCS 1989, páginas 526-531
Embora o ponto principal do artigo seja que suas técnicas se apliquem a cadeias de Markov não reversíveis no tempo, quando aplicadas a gráficos regulares não-direcionados, têm uma vantagem em relação ao trabalho anterior: mostra que, se alguém executa o algoritmo de partição espectral com um método arbitrário vetor, ainda se obtém a desigualdade ondeλ′é o quociente de Rayleigh do vetor. Os argumentos de Alon, Milman, Sinclair e Jerrum requerem um vetor próprio. Isso é relevante para algoritmos rápidos de particionamento espectral que usam vetores próprios aproximados.
Quando é que o significado algorítmico dos resultados acima, como algoritmos de particionamento de gráfico, é reconhecido pela primeira vez? Os artigos acima não têm essa discussão.