Como declarar a adequação de uma codificação do cálculo lambda em si?

No artigo Discriminando termos lambda codificados - Henk Barendregt, um codificador de um termo lambda é um termo tal que (e suas partes) podem ser reconstruídas a partir dele de maneira definível por lambda. Essencialmente, precisamos ser capazes de escrever um auto-intérprete : $\ulcorner M \urcorner$ $M$ $M$ $\mathsf E$

E ⌜ M ⌝ =_{β} M .

$\mathsf E \ulcorner M \urcorner =_\beta M.$

Há uma variedade de codificações como a de Kleene, que usa números naturais e a codificação moderna mais eficiente é uma sintaxe de ordem superior de Mogensen. Outra codificação possível (trivial) é a função de identidade, então o intérprete é novamente a função de identidade.

Existe alguma noção razoável de uma "codificação adequada" que proíba as codificações triviais?

Essa pergunta surgiu ao considerar o problema de parada aplicado ao cálculo lambda em vez de máquinas de Turing: se declarado em termos de codificação trivial, é válido pelo motivo trivial de que não há essencialmente nada que possamos fazer com um termo lambda citado.

Em outras palavras: Qual é o conjunto de funções que deveríamos esperar poder computar nos termos lambda citados?

Posso listar algumas coisas como: contar a profundidade do termo, obter subtermos, dizer se o nó raiz de um termo é um lambda ou aplicativo, ... mas hesitaria em definir uma "codificação adequada" apenas listando várias funções isso veio à mente.

lambda-calculus encoding

— Brennan.Tobias
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Escolha uma determinada "codificação adequada" concreta (por exemplo, a fornecida por Kleene). Dizer que uma codificação é adequada, se houver um -termo tendo um termo codificado pelo para a codificação Kleene. Isso é um pouco bobo, mas isso funcionaria para seus propósitos?

ι

$\iota$

λ

$\lambda$

ι

$\iota$

ι (M)

$\iota(M)$

— Cody

Eu acho que você realmente listou as operações principais: informar o tipo de termo (variável, abstração, aplicativo) e, quando apropriado, obter subtermos. O único ponto delicado é representar a ligação das lambdas, mas você pode fazer isso usando a notação de Bruijn. Qualquer outra operação razoável (por exemplo, contando a profundidade) segue-se a elas, porque você é capaz de desconstruir completamente um termo. Você concordaria?

— Damiano Mazza

O que @DamianoMazza disse. Eu tentei explicar um pouco disso em math.andrej.com/2016/01/04/… #

— Andrej Bauer

@ Andrej Bauer Não acredito que você precise de todas essas coisas. Não para resolver o meu problema.

— Andrea Asperti 13/03/19

Claro que não, o bit relevante é apenas um parágrafo no começo, explicando o que é necessário para ter uma codificação aceitável da sintaxe.

— Andrej Bauer

Respostas:

Como apontado por outros, a definição óbvia de uma codificação "adequada" é que ela é equitranslutável a qualquer codificação padrão. A questão é, portanto, caracterizar essas codificações em termos de propriedades mais elementares.

( Nota histórica . Smullyan estudou essa questão no contexto da lógica combinatória. Quando eu era estudante, Henk Barendregt sugeriu as conjecturas de Smullyan para mim como um problema de pesquisa - o que levou à minha primeira publicação científica.)

http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2011/3249/ $\newcommand{\code}[1]{\overline{#1}}$

Para resumir, dado um mapa , consideramos se existem combinadores que satisfazem determinadas propriedades. Os mais significativos são: $\code{\cdot} : \Lambda \to \Lambda$

$A\, \code{M}\, \code{N} = \code{MN}$
$B\, \code{M} = \code{\code{M}}$
$P_i\, \code{M_0 M_1} = \code{M_i},\quad i \in \{0,1\}$
$Z_b\, \code{M} = \begin{cases} \lambda x y.x &M \equiv b \in \{I,K,S\}\\ \lambda xy.y &otherwise \end{cases}$
$\Delta\, \code{M}\, \code{N} = \begin{cases} \lambda x y. x &M \equiv N\\ \lambda x y.y &otherwise \end{cases}$
$U\, \code{M} = \code{M}^s$ , onde é uma codificação padrão $\code{\cdot}^s$
$U^{-1}\, \code{M}^s = \code{M}$

É fácil ver que qualquer codificação adequada possui essas propriedades. O principal resultado do artigo (Corolário 14) é que, para uma codificação adequada, basta um dos seguintes:

$A + \Delta$ ;
$U^{-1} + \Delta$ ;
$U^{-1} + P_i + Z_b$ ;
$P_i + Z_b +$ "o intervalo de está contido em um conjunto recursivamente enumerável e existe um combinador que decide se um determinado elemento desse conjunto está ou não no intervalo". $\code{\cdot}$

— Andrew Polonsky
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Esta não é uma resposta. É uma elaboração da pergunta, que me parece interessante e talvez deva merecer mais atenção do que realmente recebeu.

Antes de mais, deixe-me dizer que existe uma condição importante na definição de Barendregt que foi omitida por Brennan, a saber, o fato de o estar na forma normal , que exclui imediatamente a função de identidade como uma codificação adequada. $\lceil M \rceil$

Agora, a questão pode ser formulada com mais precisão, seguindo a sugestão de Cody.

Dadas duas codificações, elas são recursivamente isomórficas? Em outras palavras, suponha que haja duas codificações, de modo que

𝖤_{1} ⌈ M ⌉_{1} =_{β} M a n d 𝖤_{2} ⌈ M ⌉_{2} =_{β} M

$𝖤_1 \lceil M \rceil_1 =_\beta M \hspace{1cm} and \hspace{1cm}𝖤_2 \lceil M \rceil_2 =_\beta M$ existe um termo lambda tal que para qualquer termo

F

$F$

M

$M$

E_{2} (F ⌈ M ⌉_{1}) =_{β} M

$E_2 (F \lceil M \rceil_1) =_\beta M$ e vice-versa?

Se a resposta não for, quais são os requisitos abstratos "mínimos" que devem ser adicionados para garantir isso?

— Andrea Asperti
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